Lähdekoodi sivulle Kontinuumihypoteesi

{{viitteetön}}
'''Kontinuumihypoteesi''' on [[Georg Cantor]]in esittämä väite, joka koskee äärettömien joukkojen kokoja. Cantor esitteli [[mahtavuus|mahtavuuden]] käsitteen vertaillakseen äärettömien joukkojen kokoja ja osoitti, että [[kokonaisluku]]jen joukon mahtavuus on pienempi kuin [[reaaliluku]]jen. Kontinuumihypoteesi on seuraava väite:

:Ei ole olemassa joukkoa, jonka mahtavuus on suurempi kuin kokonaislukujen joukon, mutta pienempi kuin reaalilukujen joukon.

Matemaattisessa tekstissä kokonaislukujen mahtavuutta merkitään <math>\aleph_0</math> (luetaan [[alef-nolla]]) ja reaalilukujen mahtavuutta merkitään <math>2^{\aleph_0}</math> (reaalilukujen joukon mahtavuus on siis sama kuin kokonaislukujen joukon [[potenssijoukko|potenssijoukon]]). Nyt voimme esittää kontinuumihypoteesin seuraavassa muodossa:

:Ei ole olemassa joukkoa <math>S</math>, siten että <math> \aleph_0 < |S| < 2^{\aleph_0}.</math>.
Tämä väite on yhtäpitävä väitteen <math>2^{\aleph_0} = \aleph_1</math> kanssa.

==Todistumattomuus==

[[Georg Cantor]] uskoi kontinuumihypoteesin pitävän paikkansa, minkä takia hän yritti todistaa sitä monen vuoden ajan mutta tuloksetta. [[David Hilbert]] otti otaksuman ensimmäiseksi listaansa [[Hilbertin ongelmat|avoimista ongelmista]], jotka hän esitti kansainvälisissä matemaattisessa kongressissa Pariisissa vuonna 1900.

[[Kurt Gödel]] osoitti vuonna 1940, että kontinuumihypoteesiä ei voida todistaa vääräksi Zermelon–Frankelin [[aksiomaattinen joukko-oppi|aksiomaattisessa joukko-opissa]] vaikka mukaan liitettäisiin [[valinta-aksiooma]]. [[Paul Cohen]] osoitti vuonna 1963 että kontinuumihypoteesiä ei myöskään voida todistaa oikeaksi Zermelon–Fraenkelin joukko-opissa. Siten kontinuumihypoteesi on riippumaton [[ZFC|valinta-aksioomalla laajennetusta Zermelon–Fraenkelin joukko-opista]]. Molemmat tulokset olettavat Zermelon–Frankelin aksioomien olevan ristiriidattomia. Aksioomien ristiriidattomuuden uskotaan yleisesti pitävän paikkansa.

Hypoteesin riippumattomuuden perusteella monien muiden otaksumien on myös osoitettu olevan riippumattomia aksiomisysteemistä.

==Lähteet==
* Gödel, Kurt: 'The Consistency of the Continuum-Hypothesis' Princeton University Press 1940
* McGough, Nancy: [http://www.ii.com/math/ch/ Continuum Hypothesis] 

==Kirjallisuutta==
* {{kirjaviite | Tekijä=Lipschutz, Seymour | Nimeke=Set Theory and Related Topics | Julkaisija=McGraw-Hill | Vuosi=1964 | Isbn = 0-07-037986-6}}

{{Hilbertin ongelmat}}

[[Luokka:Joukko-oppi]]