Kontinuumihypoteesi

Kontinuumihypoteesi on Georg Cantorin esittämä väite, joka koskee äärettömien joukkojen kokoja. Cantor esitteli mahtavuuden käsitteen vertaillakseen äärettömien joukkojen kokoja ja osoitti, että kokonaislukujen joukon mahtavuus on pienempi kuin reaalilukujen. Kontinuumihypoteesi on seuraava väite:

Ei ole olemassa joukkoa, jonka mahtavuus on suurempi kuin kokonaislukujen joukon, mutta pienempi kuin reaalilukujen joukon.

Matemaattisessa tekstissä kokonaislukujen mahtavuutta merkitään $\aleph _{0}$ (luetaan alef-nolla) ja reaalilukujen mahtavuutta merkitään $2^{\aleph _{0}}$ (reaalilukujen joukon mahtavuus on siis sama kuin kokonaislukujen joukon potenssijoukon). Nyt voimme esittää kontinuumihypoteesin seuraavassa muodossa:

Ei ole olemassa joukkoa $S$, siten että $\aleph _{0}<|S|<2^{\aleph _{0}}.$.

Tämä väite on yhtäpitävä väitteen $2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}$ kanssa.

Todistumattomuus

Georg Cantor uskoi kontinuumihypoteesin pitävän paikkansa, minkä takia hän yritti todistaa sitä monen vuoden ajan mutta tuloksetta. David Hilbert otti otaksuman ensimmäiseksi listaansa avoimista ongelmista, jotka hän esitti kansainvälisissä matemaattisessa kongressissa Pariisissa vuonna 1900.

Kurt Gödel osoitti vuonna 1940, että kontinuumihypoteesiä ei voida todistaa vääräksi Zermelon–Frankelin aksiomaattisessa joukko-opissa vaikka mukaan liitettäisiin valinta-aksiooma. Paul Cohen osoitti vuonna 1963 että kontinuumihypoteesiä ei myöskään voida todistaa oikeaksi Zermelon–Fraenkelin joukko-opissa. Siten kontinuumihypoteesi on riippumaton valinta-aksioomalla laajennetusta Zermelon–Fraenkelin joukko-opista. Molemmat tulokset olettavat Zermelon–Frankelin aksioomien olevan ristiriidattomia. Aksioomien ristiriidattomuuden uskotaan yleisesti pitävän paikkansa.

Hypoteesin riippumattomuuden perusteella monien muiden otaksumien on myös osoitettu olevan riippumattomia aksiomisysteemistä.

Lähteet

• Gödel, Kurt: 'The Consistency of the Continuum-Hypothesis' Princeton University Press 1940
• McGough, Nancy: Continuum Hypothesis

Kirjallisuutta

• Lipschutz, Seymour: Set Theory and Related Topics. McGraw-Hill, 1964. ISBN 0-07-037986-6

Hilbertin ongelmat

• I
• II
• III
• IV
• V
• VI
• VII
• VIII
• IX
• X
• XI
• XII
• XIII
• XIV
• XV
• XVI
• XVII
• XVIII
• XIX
• XX
• XXI
• XXII
• XXIII