Usuari:Freutci/bates

Distribució de Bates

Funció de densitat de probabilitat Cas $a=0,\ b=1$
Funció de distribució de probabilitat Cas $a=0,\ b=1$
Paràmetres	$-\infty <a<b<\infty$ $n\geq 1$ enter
Suport	$x\in [a,b]$
fdp	vegeu text
Esperança matemàtica	${\tfrac {1}{2}}(a+b)$
Variància	${\tfrac {1}{12n}}(b-a)^{2}$
Coeficient de simetria	$0$
Curtosi	$-{\tfrac {6}{5n}}$
FC	$\left(-{\frac {in(e^{\tfrac {ibt}{n}}-e^{\tfrac {iat}{n}})}{(b-a)t}}\right)^{n}$

Definició i funció de densitat

Siguin $U_{1},\dots ,U_{n}$ variables aleatòries independents, totes amb distribució uniforme a l'interval [0,1]. Designem per $M_{n}$ la mitjana d'aquestes variables: $$M_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}U_{j}.$$La distribució de $M_{n}$ és coneguda com a distribució de Bates. És una distribució contínua amb funció de densitat $$f_{M_{n}}(x)={\begin{cases}{\dfrac {n^{n}}{(n-1)^{n}}}\displaystyle {\sum _{k=0}^{[nx]}}(-1)^{k}{\dbinom {n}{k}}{\Big (}x-{\dfrac {k}{n}}{\Big )}^{n-1},&\ {\text{si}}\ x\in [0,1],\\\\0,&{\text{en cas contrari}},\end{cases}}$$on $[r]$ és la part entera del nombre real $r$ .

Nota: A partir d'ara, escriurem les funcions de densitat només en aquell conjunt on siguin diferents de zero.

Alternativament $$f_{M_{n}}(x)={\frac {n^{n}}{(n-1)^{n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\Big (}x-{\frac {k}{n}}{\Big )}_{+}^{n-1},\ x\in [0,1],$$on $$r_{+}^{m}={\begin{cases}r^{m},&{\text{si}}\ r>0\\0,&{\text{en cas contrari}}.\end{cases}}$$Ambdues expressions són equivalents, ja que a la segona expressió, per a $j=[nx]+1,\dots ,n$, tenim que $x-j/n\leq 0$.

Totes les propietats de la distribució de Bates (moments, funció característica,....) es dedueixen de les corresponents propietats de les distribucions uniformes i de la independència de $U_{1},\dots ,U_{n}$.

Definició i funció de densitat de la distribució d'Irwin-Hall

Distribució d'Irwin–Hall

Funció de densitat de probabilitat Fitxer:Irwin-hall-pdf.svg
Funció de distribució de probabilitat
Paràmetres	n, nombre natural
Suport	$x\in [0,n]$
fdp	${\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{k=0}^{\lfloor x\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(x-k)^{n-1}$
FD	${\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{\lfloor x\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(x-k)^{n}$
Esperança matemàtica	${\frac {n}{2}}$
Mediana	${\frac {n}{2}}$
Moda	${\begin{cases}{\text{qualsevol valor en}}\ [0,1],&{\text{si}}\ n=1\\{\frac {n}{2}},&{\text{si}}\ n\geq 2\end{cases}}$
Variància	${\frac {n}{12}}$
Coeficient de simetria	0
Curtosi	$-{\tfrac {6}{5n}}$
FGM	${\left({\frac {\mathrm {e} ^{t}-1}{t}}\right)}^{n}$
FC	${\left({\frac {\mathrm {e} ^{it}-1}{it}}\right)}^{n}$

Amb les notacions anteriors, la distribució de la suma $S_{n}=\sum _{j=1}^{n}U_{j}$ s'anomena distribució d'Irwin-Hall. Atès que $S_{n}=nM_{n}$ , la funció de densitat de $S_{n}$ es dedueix directament de la de $M_{n}$:

$$f_{S_{n}}(x)={\frac {1}{(n-1)^{n}}}\sum _{k=0}^{[x]}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(x-k)^{n-1},\ x\in [0,n].$$O, en la notació de Feller,

$$f_{S_{n}}(x)={\frac {1}{(n-1)^{n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(x-k)_{+}^{n-1},\ x\in [0,n].$$

Generalització

Com a les seccions anteriors, designem per $f_{M_{n}}(x)$ la funció de densitat de Bates, i per $f_{S_{n}}(x)$ la d'Irwin-Hall.

Siguin $V_{1},\dots ,V_{n}$ variables aleatòries independents, amb distribució uniforme en l'interval $[a,b]$, amb $a<b$, i designem per $f_{M_{n}}(x;a,b)$ la funció de densitat de la mitjana ${\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}V_{n}$ aleshores $$f_{M_{n}}(x;a,b)={\frac {1}{b-a}}\,f_{M_{n}}{\Big (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Big )},\ x\in [a,b].$$

Anàlogament, si designem per $f_{S_{n}}(x;a,b)$ la funció de densitat de la suma $\sum _{j=1}^{n}V_{n}$, $$f_{S_{n}}(x;a,b)={\frac {1}{b-a}}\,f_{S_{n}}{\Big (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Big )},\ x\in [na,nb].$$

Aproximació normal

Tal com mostren el gràfic del principi de la pàgina, a l'augmentar $n$, la distribució de Bates s'assembla cada cop més a una distribució normal. Això es degut a que podem aplicar el teorema central del límit. Concretament, considerem el cas general que hem considerat a l'apartat anterior amb $V_{1},\dots ,V_{n}$ amb distribució uniforme en l'interval [a,b], i $$M_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}V_{j}\quad {\text{i}}\quad S_{n}=\sum _{j=1}^{n}V_{j}.$$Atès que $$E[V_{j}]={\frac {a+b}{2}}\quad {\text{i}}\quad {\text{Var}}(V_{j})={\frac {(b-a)^{2}}{12}},$$tindrem que $$\lim _{n\to \infty }{\sqrt {12n}}\,\,{\frac {M_{n}-(a+b)/2}{b-a}}=Z,\ {\text{en distribució}},$$on $Z$ te una distribució normal estàndard ${\mathcal {N}}(0,1)$ . També es diu que $M_{n}$ és asimptòticament normal amb mitjana $(a+b)/2$ i variància $(b-a)^{2}/(12n)$ : $$M_{n}\sim {\mathcal {AN}}{\bigg (}{\frac {a+b}{2}},{\frac {(b-a)^{2}}{12n}}{\bigg )}.$$

També, $$\lim _{n\to \infty }{\sqrt {\frac {12}{n}}}\,\,{\frac {S_{n}-n(a+b)/2}{b-a}}=Z,\ {\text{en distribució}},$$o $$S_{n}\sim {\mathcal {AN}}{\bigg (}{\frac {n(a+b)}{2}},{\frac {n(b-a)^{2}}{12}}{\bigg )}.$$

El cas de Lobatxevski

Lovatxevski considera el cas $b=1$ i $a=-1$ , és a dir, les variables de partida tenen distribució uniforme a l'interval $[-1,1]$. Llavors la densitat de la seva mitjana és$$f_{M_{n}}(x;-1,1)={\frac {n}{2^{n}(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\Big (}nx+n-2k{\Big )}_{+}^{n-1},\ x\in [-1,1].$$I la densitat de la suma és $$f_{S_{n}}(x;-1,1)={\frac {1}{2^{n}(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\Big (}x+n-2k{\Big )}_{+}^{n-1},\ x\in [-n,n].$$

D'acord amb Maistrov , Lobatxevski tenia interès en aquesta distribució perquè volia estimar si la suma dels angles d'un gran triangle astronòmic era menor que $180^{\circ }$, amb la qual cosa es tindria una prova que la geometria de l'univers era no euclidiana (hiperbòlica). Vegeu Brylevskaya per als detalls.

Alguns càlculs explícits i demostració de la fórmula general

Figura 1. Funció de densitat $f_{1}$

Per a ${\boldsymbol {n=1}}$, la funció de densitat $f_{1}$ és la densitat d'una distribució uniforme en l'interval [0,1]: $$f_{1}(x)={\begin{cases}1,&{\text{si}}\ x\in [0,1],\\\\0,&{\text{altrament}}.\end{cases}}$$ Vegeu la Figura 1.

Quan ${\boldsymbol {n=2}}$. $$f_{2}(x)={\begin{cases}x,&{\text{si}}\ x\in [0,1),\\\\2-x,&{\text{si}}\ x\in [1,2],\\\\0,&{\text{altrament}}.\end{cases}}$$Vegeu la Figura 2. La distribució amb aquesta funció de densitat s'anomena distribució triangular.

Figura 2. Funció de densitat $f_{2}$

La demostració d'aquesta fórmula es fa utilitzant la següent propietat:

Propietat: Funció de densitat de la suma de variables aleatòries independents . Considerem dues variables aleatòries $X$ i $Y$ independents amb funcions de densitat $f_{X}$ i $f_{Y}$ respectivament. Sigui $$Z=X+Y.$$ Aleshores $Z$ té funció de densitat $$f_{Z}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{Y}(x-u)f_{X}(u)\,du=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x-u)f_{Y}(u)\,du.\quad \quad (2)$$
D'acord amb aquesta fórmula, $$f_{2}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{1}(x-y)f_{1}(y)\,dy=\int _{0}^{1}f_{1}(x-y)dy.$$ Fem el canvi de variable $u=x-y$. Llavors, $$f_{2}(x)=\int _{x-1}^{x}f_{1}(u)\,du.$$ Ara hem de distingir 3 casos:

Cas 1. Si $x\in [0,1]$, vegeu la Figura 3, aleshores, atès que $f_{1}(u)$ és zero a menys que $u\in [0,1]$, tindrem $$f_{2}(x)=\int _{0}^{x}f_{1}(u)\,du=x.$$

Figura 3. Càlcul de la funció de densitat $f_{2}$, cas 1

Cas 2. Si $x\in (1,2]$, vegeu la Figura 4, aleshores,

$$f_{2}(x)=\int _{x-1}^{1}f_{1}(u)\,du=x-2.$$

Figura 4. Càlcul de la funció de densitat $f_{2}$, cas 2

Cas 3. Finalment, si $x\not \in [0,2]$, és clar que $f_{2}(x)=0$.

Per a ${\boldsymbol {n=3}}$, $$f_{3}(x)={\begin{cases}{\dfrac {x^{2}}{2}},&{\text{si}}\ x\in [0,1),\\\\-x^{2}+3x-{\dfrac {3}{2}},&{\text{si}}\ x\in [1,2),\\\\{\dfrac {(2-x)^{2}}{2}},&{\text{si}}\ x\in [2,3),\\\\0,&{\text{altrament}}.\end{cases}}$$

Figura 5.Funció de densitat $f_{3}$

La demostració es fa com en el cas anterior, aplicant la fórmula (2) $$f_{3}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{2}(x-y)f_{1}(y)\,dy=\int _{-0}^{1}f_{2}(x-y)dy=\int _{x-1}^{x}f_{2}(u)\,du.$$ Ara cal distingir els casos $x\in [0,1)$, $x\in [1,2)$, etc. Per exemple, quan $x\in [1,2)$, $$f_{3}(x)=\int _{x-1}^{x}f_{2}(u)\,du=\int _{x-1}^{1}u\,du+\int _{1}^{x}(2-u)\,du,$$ i ara es calculen ambdues integrals.
Demostració del cas general. Anem a demostrar la fórmula (1) per inducció (aquesta demostració és de Feller ). Es pot comprovar que aquesta fórmula per a $n=1,2,3$ coincideix amb les expressions que hem calculat anteriorment, però la deducció de la fórmula general a partir dels càlculs per a $n$ petites no és gens evident. Cal dir que Lagrange i Lobatxevski van deduir fórmules equivalents mitjançant un pas al límit a partir del cas discret.
Tal com hem dit, per a $n=1$ la fórmula (1) dóna exactament l'expressió que hem obtingut abans. Suposem certa (1) per a $n$; anem a demostrar-la per a $n+1$. De la mateixa manera que hem fet en els càlculs de $n=2$, per la fórmula (2), $$f_{n+1}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}(x-y)\,f_{1}(y)\,dy=\int _{0}^{1}f_{n}(x-y)\,dy=\int _{x-1}^{x}f_{n}(u)\,du=\int _{-\infty }^{x}f_{n}(u)\,du-\int _{-\infty }^{x-1}f_{n}(u)\,du.\quad \quad (3)$$

De l'expressió (1) veurem que cadascuna de les integrals que apareixen a la dreta es redueix a una suma d'integrals de la forma$$\int _{0}^{z}(u-m)_{+}^{n-1}\,du,$$amb $m\in [0,n]$. La funció $h(u)=(u-p)_{+}^{n-1}$ val (vegeu la Figura 6) $$h(u)=(u-p)_{+}^{n-1}={\begin{cases}(u-p)^{n-1},&{\text{si }}u\geq p,\\0,&{\text{en cas contrari.}}\end{cases}}$$

Gràfic de la funció $h(u)=(u-m)_{+}^{n-1}$

Aleshores, per a $z\geq m$, $$\int _{0}^{z}(u-m)_{+}^{n-1}\,du=\int _{p}^{z}(u-m)^{n-1}\,du={\frac {1}{n}}(z-m)^{n}.$$ Quan $z<m$, $$\int _{0}^{z}(u-m)_{+}^{n-1}\,du=0.$$ En resum, $$\int _{0}^{z}(u-m)_{+}^{n-1}\,du={\frac {1}{n}}(z-m)_{+}^{n}.$$

Ara hem de distingir diversos casos.

• Si $x\in [1,n]$, la primera integral de la dreta de (3) val $$\int _{0}^{x}f_{n}(u)\,du={\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{x}(u-k)_{+}^{n-1}\,du={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(x-k)_{+}^{n}.\qquad (4)$$La segona integral de la dreta de (3) dóna

$$\int _{0}^{x-1}f_{n}(u)\,du={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(x-1-k)_{+}^{n}=-{\frac {1}{n!}}\sum _{k=1}^{n+1}(-1)^{k}{\binom {n}{k-1}}(x-k)_{+}^{n},\qquad (5)$$on a la darrera igualtat hem fet el canvi d'índexs $k\to k+1$.

Ara, de (3) , (4) i (5),

$$f_{n+1}(x)={\frac {1}{n!}}(x)_{+}^{n}+{\frac {1}{n!}}\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k}{\bigg (}{\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}{\bigg )}(x-k)^{n}+{\frac {1}{n!}}(x-n-1)_{+}^{n}={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n+1}(-1)^{k}{\binom {n+1}{k}}(x-k)_{+}^{n},$$que és l'expressió pel cas $n+1$ de (1). A la darrera igualtat hem utilitzat la propietat dels coeficients binomials $${\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}={\binom {n+1}{k}}.$$

• Si $x\in [0,1]$, aleshores la segona integral de la dreta de (3) és zero, i de la primera integral, només és diferent de zero el sumand corresponent a $k=0$, amb la qual cosa,

$$f_{n+1}(x)={\frac {1}{n!}}(x-n-1)_{+}^{n},$$que és el que dóna l'expressió (1) per a $n+1$ per aquestes valors de $x$.

• Anàlogament, s'estudia el cas $x\in [n,n+1]$.

• Quan $x<0$ o $x>n+1$, evidentment $f_{n+1}(x)=0$.