Usuari:Freutci/bates

Introducció

La convolució (o producte de convolució) de dues distribucions de probabilitat és una operació entre dues distribucions de probabilitat que dóna com a resultat una distribució de probabilitat. Si ambdues distribucions tenen funció de densitat, aleshores la convolució queda determinada per la convolució ordinària entre les dues funcions de densitat. Quan les distribucions estan concentrades en els nombres enters, llavors és redueix a una convolució discreta de les funcions de probabilitat. Des del punt de vista de les probabilitats, la propietat essencial és que la distribució de la suma de dues variables aleatòries independents és la convolució de les distribucions de probabilitat corresponents.

Aquest article està dividit en dues parts. A la primera s'estudia la convolució de densitats i la convolució discreta, i a la segona el cas general.

Convolució de funcions de densitat

Començarem tractant el cas més senzill i important on les dues distribucions de probabilitat tinguin funció de densitat. Siguin $f_{1}$ i $f_{2}$ dues funcions de densitat. Es defineix la convolució de $f_{1}$ i $f_{2}$, i es designa per $f_{1}*f_{2}$ a la funció de densitat

$$f_{1}*f_{2}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{1}(x-u)f_{2}(u)\,du=\int _{-\infty }^{\infty }f_{2}(x-v)f_{1}(v)\,dv.\quad \quad (1)$$La igualtat entre ambdues integrals s'obté fent el canvi $v=x-u$ (la variable $x$ està fixada en aquestes integrals). De fet, en l'expressió anterior s'hauria d'escriure $(f_{1}*f_{2})(x)$, però per simplificar l'escriptura s'omet el primer parèntesis. De l'expressió (1) es veu que la convolució és commutativa: $$f_{1}*f_{2}=f_{2}*f_{1}.$$ Exemple. Siguin $f_{1}$ i $f_{2}$ dues densitats uniformes en l'interval [0,1]: $$f_{1}(x)=f_{2}(x)={\begin{cases}1,&{\text{si}}\ x\in [0,1],\\\\0,&{\text{altrament}}.\end{cases}}$$Vegeu la figura 1. Aleshores, $$f_{1}*f_{2}(x)={\begin{cases}x,&{\text{si}}\ x\in [0,1),\\\\2-x,&{\text{si}}\ x\in [1,2],\\\\0,&{\text{altrament}}.\end{cases}}$$Vegeu la figura 2. La densitat $f_{1}*f_{2}$ s'anomena densitat triangular.

Figura 1. Funcions de densitat $f_{1}$ i $f_{2}$

Figura 2. Funció de densitat $f_{1}*f_{2}$

Prova D'acord amb (1), $$f_{1}*f_{2}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{1}(x-u)f_{2}(u)\,du=\int _{0}^{1}f_{1}(x-u)du.$$ Fem el canvi de variable $y=x-u$ i obtenim$$f_{2}(x)=\int _{x-1}^{x}f_{1}(y)\,dy.$$ Ara hem de distingir 3 casos:

• Cas 1. Si $x\in [0,1)$, vegeu la Figura 3, aleshores, atès que $f_{1}(y)$ és zero a menys que $y\in [0,1]$, tindrem $$f_{2}(x)=\int _{0}^{x}f_{1}(y)\,dy=x.$$

Figura 3. Càlcul de la funció de densitat $f_{2}$, cas 1

• Cas 2. Si $x\in (1,2]$, vegeu la Figura 4, aleshores,

$$f_{2}(x)=\int _{x-1}^{1}f_{1}(y)\,dy=x-2.$$

Figura 4. Càlcul de la funció de densitat $f_{2}$, cas 2

• Cas 3. Finalment, si $x\not \in [0,2]$, és clar que $f_{2}(x)=0$.

Convolució i independència.

Convolució i independència

Siguin $X$ i $Y$ dues variables aleatòries independents, amb funcions de densitat $f_{X}$ i $f_{Y}$ respectivament. Aleshores la variable aleatòria $X+Y$ té funció de densitat $f_{1}*f_{2}$.

Prova.

Figura 5. En verd el conjunt $D_{t}$ dels punts $(x,y)$ del pla tals que $x+y\leq t$ (amb $t$ positiu) .

La funció de distribució de $X+Y$ es pot calcular de la següent manera: Fixat $t\in \mathbb {R}$, sigui $D_{t}=\{(x,y):\ x+y\leq t\}$ . Tenim que pel teorema de Fubini, $${\begin{aligned}F_{X+Y}(t)&=P(X+Y\leq t)=P{\big (}(X,Y)\in D_{t}{\big )}=\iint _{D_{t}}f_{(X,Y)}(x,y)\,dx\,dy{\underset {(*)}{=}}\iint _{D_{t}}f_{X}(x)\,f_{Y}(y)\,dx\,dy\int _{x=-\infty }^{\infty }\int _{y=-\infty }^{t-x}f_{X}(x)f_{Y}(y)\,dx\,dy\\&=\int _{u=-\infty }^{\infty }\int _{y=-\infty }^{t}f_{X}(t-u)f_{Y}(y)\,du\,dy=\int _{y=-\infty }^{t}{\Big (}\int _{u=-\infty }^{\infty }f_{X}(t-u)f_{Y}(y)\,du{\Big )}dy.\end{aligned}}$$on la darrera igualtat de la dreta és deguda a que en ser $X$ i $Y$ independents, la funció de densitat conjunta del vector $(X,Y)$ és igual al producte de les marginals: $$f_{(X,Y}(x,y)=f_{X}(x)\,f_{Y}(y).$$ Llavors, pel Teorema de Fubini (totes les funcions que intervenen són positives), $$\iint _{D_{t}}f_{X}(x)\,f_{Y}(y)\,dx\,dy=\int _{x=-\infty }^{\infty }\int _{y=-\infty }^{t-x}f_{X}(x)f_{Y}(y)\,dx\,dy=\int _{u=-\infty }^{\infty }\int _{y=-\infty }^{t}f_{X}(t-u)f_{Y}(y)\,du\,dy=\int _{y=-\infty }^{t}{\Big (}\int _{u=-\infty }^{\infty }f_{X}(t-u)f_{Y}(y)\,du{\Big )}dy.$$Per tant,$$F_{X+Y}(t)=\int _{y=-\infty }^{t}{\Big (}\int _{u=-\infty }^{\infty }f_{X}(t-u)f_{Y}(y)\,du{\Big )}dy.$$

Això implica que la variable aleatòria $X+Y$ té funció de densitat donada per $$f_{X+Y}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x-u)f_{Y}(u)\,du=f_{X}*f_{Y}(x).$$

Exemple. Siguin $X$ i $Y$ dues variables aleatòries independents amb distribució uniforme en l'interval [0,1]. Aleshores $X+Y$ té distribució uniforme triangular que hem vist a l'exemple 1.

Convolució discreta

Considerem dues distribucions de probabilitat sobre els nombres enters donades per les funcions de probabilitat (o de repartiment de massa) $p_{1}$ i $p_{2}$, això es, $p_{1},p_{2}:\mathbb {Z} \to [0,1]$ , tals que $\sum _{n=-\infty }^{\infty }p_{1}(n)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }p_{2}(n)=1$. Aleshores es defineix la seva convolució per $$p_{1}*p_{2}(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }p_{1}(n-k)p_{2}(k)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }p_{2}(n-k)p_{1}(k).\qquad (2)$$

Exemple. Siguin $p_{1}$ i $p_{2}$ dues funcions de probabilitat iguals corresponents a una distribució uniforme en el conjunt $\{1,2,\dots ,6\}$: $$p_{1}(1)=\cdots =p_{2}(6)={\frac {1}{6}}.$$Aleshores $p_{1}*p_{2}$ està concentrada en el conjunt $\{2,3,\dots ,12\}$ amb probabilitats:$$p_{1}*p_{2}(2)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }p_{1}(2-k)p_{2}(k)=p_{1}(1)\,p_{2}(1)={\frac {1}{36}}.$$$$p_{1}*p_{2}(3)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }p_{1}(3-k)\,p_{2}(k)=p_{1}(2)\,p_{2}(1)+p_{1}(1)\,p_{2}(2)={\frac {2}{36}}={\frac {1}{18}}.$$De manera similar es calcula $$p_{1}*p_{2}(4)={\frac {1}{12}},\,p_{1}*p_{2}(5)={\frac {1}{9}},\,p_{1}*p_{2}(6)={\frac {5}{36}},\,p_{1}*p_{2}(7)={\frac {1}{6}},\,p_{1}*p_{2}(8)={\frac {5}{36}},\,p_{1}*p_{2}(9)={\frac {1}{9}},\,p_{1}*p_{2}(10)={\frac {1}{12}},\,p_{1}*p_{2}(11)={\frac {1}{18}},\,p_{1}*p_{2}(12)={\frac {1}{36}}.$$

Com en els cas de variables aleatòries amb densitat tenim

Propietat. Siguin $X$ i $Y$ dues variables aleatòries independents que només prenen valors enters, amb funcions de probabilitat $p_{X}$ i $p_{Y}$ respectivament. Aleshores la variable aleatòria $X+Y$ té funció de probabilitat $p_{X}*p_{Y}$.

Exemple. Tirem dos daus i siguin $X$ i $Y$ el resultat que surt. Evidentment, $X$ i $Y$ són independents. Llavors, la funció de probabilitat de $X+Y$ serà la que hem vist a l'Exemple .

Definició general

La definició general de convolució de probabilitats es formula en termes de distribucions de probabilitats; més endavant recuperarem els dos cases anteriors i altres casos més elementals i senzills. . Recordem que una distribució de probabilitat $Q$ a $\mathbb {R}$ és una mesura de probabilitat a l'espai mesurable $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$, on ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ és la $\sigma$ -àlgebra de Borel sobre $\mathbb {R}$, és a dir, $Q:{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\to [0,1]$ , tal que $Q(\mathbb {R} )=1$ i és $\sigma$-additiva: Si $A_{1},A_{2}\dots \in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ són disjunts dos a dos, $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$ , si $i\neq j$ , aleshores$$Q{\Big (}\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}{\Big )}=\sum _{n=1}^{\infty }Q(A_{n}).$$

Definició. Donades dues distribucions de probabilitat a $\mathbb {R}$, $Q_{1}$ i $Q_{2}$, la seva convolució o producte de convolució és la distribució de probabilitat a $\mathbb {R}$ definida per $$Q_{1}*Q_{2}(A)=\int _{\mathbb {R} }Q_{2}(A-x)\,dQ_{1}(x)=\int _{\mathbb {R} }Q_{1}(A-x)\,dQ_{2}(x),\quad A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\qquad \qquad (1)$$on les integrals són integrals de Lebesgue en l'espai de mesura $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),Q_{1})$ o $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),Q_{2})$ , i $$A-x=\{a-x,\,a\in A\}.$$De manera, equivalent , $$Q_{1}*Q_{2}(A)=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}{\boldsymbol {1}}_{A}(x+y)\,dQ_{1}(x)\,dQ_{2}(y),\qquad \qquad (2)$$on $${\boldsymbol {1}}_{C}(z)={\begin{cases}1,&{\text{si }}z\in C,\\0,&{\text{en cas contrari}},\end{cases}}$$és la funció indicador d'un conjunt $C$. La convolució és commutativa i associativa: $$Q_{1}*Q_{2}=Q_{2}*Q_{1}\quad {\text{i}}\quad (Q_{1}*Q_{2})*Q_{3}=Q_{1}*(Q_{2}*Q_{3}).$$Aquestes propietats permeten considerar sense ambigüitat la convolució de diverses distribucions. Es defineix la $n$-èssima potència de convolució de $Q$per $$Q^{n*}=Q*\cdots *Q.\qquad \qquad (3)$$ Convolució i funcions característiques. Recordem que la funció característica d'una distribució de probabilitat $Q$ és la funció $\varphi _{Q}:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ definida per $$\varphi _{Q}(t)=\int _{\mathbb {R} }e^{itx}\,dQ(x),\quad t\in \mathbb {R} .$$La funció característica d'una convolució és el producte de les funcions característiques:$$\varphi _{Q_{1}*Q_{2}}(t)=\varphi _{Q_{1}}(t)\,\varphi _{Q_{2}}(t),\quad {\text{per a qualsevol }}t\in \mathbb {R} .$$

Integració respecte d'una convolució. Sigui $h:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ una funció mesurable, positiva o integrable respecte $Q_{1}*Q_{2}$. Aleshores $$\int _{\mathbb {R} }h(x)\,dQ_{1}*Q_{2}(x)=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}h(x+y)\,dQ_{1}(x)\,dQ_{2}(y).\qquad \qquad (4)$$

Propietat fonamental: Convolució i suma de variables aleatòries independents.

Sigui $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ un espai de probabilitat. Donada una variable aleatòria $Z$, la seva distribució $P_{Z}$ és la distribució a $\mathbb {R}$ definida per $$P_{Z}(A)=P{\big (}\{Z\in A\}{\big )},\quad A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ).$$Tenim la següent propietat: Siguin $X$ i $Y$ dues variables aleatòries independents. Aleshores $$P_{X+Y}=P_{X}*P_{Y}.$$En aquest context, $P_{X}^{n*}$ és la distribució de la suma $X_{1}+\cdots +X_{n}$ on $X_{1},\dots ,X_{n}$ són independents i totes amb la mateixa distribució que $X$.

Observació. Donada una distribució de probabilitat $Q$, sempre es pot construir un espai de probabilitat i una variable aleatòria $X$ tal que $Q=P_{X}$ . Això permet definir la convolució a partir de la suma de variables independents ..

Relacions amb altres nocions de convolució

En teoria de la probabilitat una funció de distribució és una funció $F:\mathbb {R} \to [0,1]$ no decreixent, contínua per la dreta, amb $\lim _{x\to -\infty }F(x)=0$ i $\lim _{x\to \infty }F(x)=1$. Hi ha una correspondència bijectiva entre les funcions de distribució i les distribucions de probabilitat a $\mathbb {R}$: Si $F$ és una funció de distribució, defineix una distribució de probabilitat per la fórmula $$Q{\big (}(a,b]{\big )}=F(b)-F(a),\quad {\text{per a qualsevols }}a\leq b.$$Recíprocament, donada una distribució de probabilitat $Q$ a $\mathbb {R}$, es defineix una funció de distribució$F$ mitjançant $$F(x)=Q{\big (}-\infty ,x]{\big )},\quad x\in \mathbb {R} .$$Donada una funció de distribució $F$ corresponent a una distribució de probabilitat $Q$, si $h:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ és una funció mesurable, es denota la integral de Lebesgue-Stieltjes de $h$ respecte de $F$ per $\int _{-\infty }^{\infty }h(x)\,dF(x)$, i tenim que, $$\int _{-\infty }^{\infty }h(x)\,dF(x)=\int _{\mathbb {R} }h(x)\,dQ(x).$$A la literatura es troben les següents definicions de convolució :
1. Convolució de funcions de distribució. Donades dues funcions de distribució $F_{1}$ i $F_{2}$ es defineix la seva convolució per$$F_{1}*F_{2}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }F_{1}(x-y)\,dF_{2}(y)=\int _{-\infty }^{\infty }F_{2}(x-y)\,dF_{1}(y).$$2. Convolució d'una funció i una funció de distribució. Donada una funció $f_{1}$ i una funció de distribució $F_{2}$ es defineix las seva convolució per

$$f_{1}*F_{2}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{1}(x-y)\,dF_{2}(y).$$3. Convolució de dues funcions. Donades dues funcions $f_{1}$ i $f_{2}$ es defineix la seva convolució per

$$f_{1}*f_{2}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{1}(x-y)f_{2}(y)\,dy=\int _{-\infty }^{\infty }f_{2}(x-y)f_{1}(y)\,dy.$$4. Convolució de dues funcions definides sobre els nombres enters. Donades dues funcions $q_{1},q_{2}:\mathbb {Z} \to \mathbb {R}$ (o, equivalentment, dues successions $q_{1}={\big (}q_{1}(n){\big )}_{n\in \mathbb {Z} }$ i $q_{2}={\big (}q_{2}(n){\big )}_{n\in \mathbb {Z} }$ es defineix la seva convolució per

$$q_{1}*q_{2}(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }q_{2}(n-k)q_{1}(k)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }q_{1}(n-k)q_{2}(k).$$Tal com diu Hoffmann-Jorgensen , és òbviament inconsistent utilitzar el símbol $*$ per a convolucions diferents, però aquesta és la tradició. Veiem com es relacionen totes aquestes convolucions:
1. Si $F_{1}$ i $F_{2}$ són les funcions de distribució de $Q_{1}$i $Q_{2}$ respectivament, aleshores $F_{1}*F_{2}$ és la funció de distribució de $Q_{1}*Q_{2}$.
2. Amb les notacions anteriors, si $F_{1}$ té funció de densitat $f_{1}$, aleshores $F_{1}*F_{2}$ té funció de densitat $f_{1}*F_{2}$.

3. Amb les mateixes notacions, si, a més, $F_{2}$ té funció de densitat $f_{2}$, la funció de densitat de $F_{1}*F_{2}$ és $f_{1}*f_{2}$ .
4. Si les distribucions $Q_{1}$ i $Q_{2}$ estan concentrades en els nombres enters, amb funcions de probabilitat (o repartiment de massa) $q_{1}$ i $q_{2}$ aleshores $Q_{1}*Q_{2}$ també està concentrada en els nombres enters i la seva funció de probabilitat és $q_{1}*q_{2}$.

Observacions i demostracions

Les demostracions de les propietats anteriors són molt senzilles, gaire bé tautològiques, però demanen diverses notacions i propietats.

Espai producte. Donats dos espais mesurables, $(E_{1},{\mathcal {A}}_{1})$ i $(E_{2},{\mathcal {A}}_{2})$, la $\sigma$-àlgebra producte ${\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2}$ sobre $E_{1}\times E_{2}$ és la mínima $\sigma$-àlgebra que conté tots els conjunts de la forma $A\times B$, $A\in {\mathcal {A}}_{1}$ i $B\in {\mathcal {A}}_{2}$ , els quals s'anomenen rectangles. Si $C\in {\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2}$ i $x\in E_{1}$ , aleshores$$C_{x}=\{y\in E_{2}:\,(x,y)\in C\}\in {\mathcal {A}}_{2}.$$Sigui $f:\,E_{1}\times E_{2}\to \mathbb {R}$ una funció ${\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2}$ mesurable. Aleshores per a qualsevol $x\in E_{1}$, la funció $${\begin{aligned}f_{x}:\,&E_{2}\to \mathbb {R} \\&\,y\mapsto f(x,y)\end{aligned}}$$és ${\mathcal {A}}_{2}$ mesurable. Aquesta funció s'anomena secció de $f$ per $x$.

Mesura producte. Si $\mu _{1}$ i $\mu _{2}$ són mesures a $(E_{1},{\mathcal {A}}_{1})$ i $(E_{2},{\mathcal {A}}_{2})$ respectivament, aleshores la mesura producte $\mu _{1}\otimes \mu _{2}$ sobre l'espai mesurable $(E_{1}\times E_{2},{\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2})$ és la mesura determinada per $$\mu _{1}\otimes \mu _{2}(A\times B)=\mu _{1}(A)\,\mu _{2}(B),\quad A\in {\mathcal {A}}_{1},\ B\in {\mathcal {A}}_{2}.$$Teorema de Fubini. Considerem dos espais de mesura $(E_{1},{\mathcal {A}}_{1},\mu _{1})$ i $(E_{2},{\mathcal {A}}_{2},\mu _{2})$, amb $\mu _{1}$ i $\mu _{2}$ mesures $\sigma$-finites, i sigui $f:\,E_{1}\times E_{2}\to \mathbb {R}$ una funció mesurable positiva. Aleshores la funció

$${\begin{aligned}&E_{1}\to \mathbb {R} \\&\,x\mapsto \int _{E_{2}}f_{x}(y)\,d\mu _{2}\end{aligned}}$$es ${\mathcal {A}}_{1}$ mesurable i $$\int _{E_{1}\times E_{2}}f\,d\mu _{1}\otimes \mu _{2}=\int _{E_{1}}{\bigg (}\int _{E_{2}}f_{x}(y)\,d\mu _{2}(y){\bigg )}\mu _{1}(x)).$$

El mateix és cert si la funció $f$ és $\mu _{1}\otimes \mu _{2}$ integrable, però llavors la funció $\int _{E_{2}}f_{x}(y)\,d\mu _{2}(y)$ està definida excepte sobre un conjunt de mesura $\mu _{1}$zero.

Comentaris sobre la definició (1). Aplicarem el teorema de Fubini als espais de mesura $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),Q_{1})$ i $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),Q_{2})$ i la funció $$f(x,y)={\boldsymbol {1}}_{\{(a,b):\,a+b\in A\}}(x,y)={\boldsymbol {1}}_{A}(x+y).$$La secció d'aquesta funció per $x$ és$$f_{x}(y)={\boldsymbol {1}}_{\{y:\,x+y\in A\}}(y)={\boldsymbol {1}}_{A-x}(y).$$Llavors, per la primera part del Teorema de Fubini, la funció $$x\mapsto \int _{\mathbb {R} }f_{x}(y)\,dQ_{2}(y)=Q_{2}(A-x)$$és mesurable. Per tant, la primera integral de la definició (1) està ben definida. L'aplicació $${\begin{aligned}Q_{1}*Q_{2}:{\mathcal {B}}&(\mathbb {R} )\to \mathbb {R} \\&A\mapsto \int _{\mathbb {R} }Q_{2}(A-x)\,dQ_{1}(x)\end{aligned}}$$és una probabilitat, ja que es comprova que $Q_{1}*Q_{2}(\mathbb {R} )=1$ i que la funció $Q_{1}*Q_{2}$ és $\sigma$-additiva.

Demostració de l'equivalència entre les definicions (1) i (2). Aquí s'aplica la segona part del Teorema de Fubini amb la mateixa funció $f$ que abans: $$\iint _{\mathbb {R} ^{2}}{\boldsymbol {1}}_{A}(x+y)\,dQ_{1}(x)\,dQ_{2}(y)=\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x,y)\,dQ_{1}\otimes Q_{2}(x,y)=\int _{\mathbb {R} }{\bigg (}\int _{\mathbb {R} }f_{x}(y)\,dQ_{2}(y){\bigg )}dQ_{1}(x)=\int _{\mathbb {R} }Q_{2}(A-x)\,dQ_{1}(x).$$ Llei conjunta de dues variables aleatòries. Donades dues variables aleatòries $X$ i $Y$ s'anomena llei conjunta del vector aleatori $(X,Y)$ a la distribució de probabilitat sobre $\mathbb {R} ^{2}$ a $$P_{X,Y}(C)=p(\{(X,Y)\in C\}),\quad C\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{2}).$$ Dues variables aleatòries són independents si i només si $$P_{X,Y}=P_{X}\otimes P_{Y}.$$Demostració de la propietat fonamental.

Lema: Siguin $X$ i $Y$ dues variables aleatòries independents, $Y\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})$ . Designem per $\varphi _{X}$ la funció característica de $X$. Aleshores $X+Y$ té funció de densitat$$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\,\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{X}(t)e^{-itx-{\frac {t^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,dt.$$Prova.

Aquesta prova es basa en que la funció característica de la distribució normal centrada coincideix, excepte una constant multiplicativa, amb la seva funció de densitat. Concretament, si $\varphi _{Y}$ és la funció característica de $Y$ i $f_{Y}$ la seva funció de densitat, llavors $$f_{Y}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,\varphi _{Y}(x).$$Per demostrar el lema, d'acord amb les propietats de la convolució, atès que $Y$ té densitat, $X+Y$ també, que és $${\begin{aligned}f(x)&=\int _{s=-\infty }^{\infty }f_{Y}(s-x)\,dP_{X}(s)=\int _{s=-\infty }^{\infty }f_{Y}(x-s)\,dP_{X}(s)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{s=-\infty }^{\infty }\varphi _{Y}(x-s)\,dP_{X}(s)\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{s=-\infty }^{\infty }{\bigg (}\int _{t=-\infty }^{\infty }e^{i(x-s)t}e^{-{\frac {t^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,\,dt{\bigg )}\,dP_{X}(s){\overset {(*)}{=}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{t=-\infty }^{\infty }{\bigg (}\int _{s=-\infty }^{\infty }e^{ist}\,dP_{X}(s){\bigg )}e^{-itx-{\frac {t^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,\,dt\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{t=-\infty }^{\infty }\varphi _{X}(t)e^{-itx-{\frac {t^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,\,dt,\end{aligned}}$$

on a la igualtat (*) hem aplicat el Teorema de Fubini, la qual cosa pot fers-se ja que $$\int _{s=-\infty }^{\infty }\int _{t=-\infty }^{\infty }{\bigg \vert }e^{i(x-s)t}e^{-{\frac {t^{2}}{2\sigma ^{2}}}}{\bigg \vert }\,\,dt\,dP_{X}(s)\leq \int _{s=-\infty }^{\infty }\int _{t=-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {t^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,\,dt\,dP_{X}(s)={\sqrt {2\pi }}\int _{s=-\infty }^{\infty }dP_{X}(s)={\sqrt {2\pi }}P_{X}(\mathbb {R} )={\sqrt {2\pi }}.$$

Aproximació normal

D'acord amb el teorema central del límit, atès que $$E[U_{i}]={\frac {1}{2}}\quad {\text{i}}\quad {\text{Var}}(U_{i})={\frac {1}{12}},$$ tenim que

$$\lim _{n\to \infty }{\sqrt {\frac {12}{n}}}\,{\big (}S_{n}-{\frac {n}{2}}{\big )}=Z,\ {\text{en distribució}},$$on $Z$ te una distribució normal estàndard ${\mathcal {N}}(0,1)$ (vegeu la remarca 2 a la pàgina teorema central del límit ). També es diu que $S_{n}$ és asimptòticament normal amb mitjana $(a+b)/2$ i variància $n/12$ i s'escriu $$S_{n}\sim {\mathcal {AN}}{\bigg (}{\frac {n}{2}},{\frac {n}{12}}{\bigg )}.$$ Com a les seccions anteriors, designem per $f_{M_{n}}(x)$ la funció de densitat de Bates, i per $f_{S_{n}}(x)$ la d'Irwin-Hall.

Generalitzacions

Suma de variables uniformes en l'interval [0,c]

La funció de densitat de la suma de $n$ variables aleatòries independents totes amb distribució uniforme en l'interval $[0,c]$ amb $c>1$ , que designarem per $f_{n}(x;0,c)$ és $$f_{n;0,c}(x)={\begin{cases}{\displaystyle {\frac {1}{c^{n}(n-1)!}}\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{n \choose j}(x-cj)_{+}^{n-1}},&{\text{si}}\ x\in [0,cn],\\\\0,&{\text{altrament.}}\end{cases}}$$

Cas de Lobatxevski: suma de variables uniformes en l'interval [-1,1]

Lobatxevski considera el cas de la suma de $n$ variables aleatòries independents amb distribució uniforme a l'interval $[-1,1]$. La seva densitat, que denotarem per $f_{n}(x;-1,1)$ és $$f_{n}(x;-1,1)={\frac {1}{2^{n}(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\Big (}x+n-2k{\Big )}_{+}^{n-1},\ x\in [-n,n].$$ Alternativament , $$f_{n}(x;-1,1)={\frac {1}{2^{n}(n-1)!}}\sum _{k=0}^{{\big [}{\frac {x+n}{2}}{\big ]}}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\Big (}x+n-2k{\Big )}^{n-1},\ x\in [-n,n].$$

Cas general: suma de variables uniformes en l'interval [a,b]

Siguin $V_{1},\dots ,V_{n}$ variables aleatòries independents, totes amb distribució uniforme a l'interval $[a,b]$ amb $a<b$. Designem per $S_{n;a,b}$ la seva suma: $$S_{n;a,b}=\sum _{i=1}^{n}V_{i}.$$Sigui $f_{n}(x;a,b)$ la seva funció de densitat . Aleshores, $$f_{n}(x;a,b)={\frac {1}{b-a}}\,f_{n}{\Big (}{\frac {x-na}{b-a}}{\Big )},\ x\in [na,nb].$$

Demostracions

Evidentment $f_{n}(x;0,c)$ i $f_{n}(x;-1,1)$ són casos particulars de $f_{n}(x;a,b)$. Per demostrar la fórmula en el cas general només s'ha de tenir en compte que si $U$ és una variable aleatòria uniforme en $[0,1]$, llavors $a+(b-a)U$ té una distribució uniforme en l'interval $[a,b]$ (n'hi ha prou amb calcular la funció de densitat de $a+(b-a)U$ mitjançant la fórmula de canvi de variables per a variables aleatòries). Aleshores $S_{n;a,b}$ tindrà la mateixa distribució que $$\sum _{i=1}^{n}{\big (}a+(b-a)U_{i}{\big )}=na+(b-a)S_{n},$$on $U_{1},\dots ,U_{n}$ són variables aleatòries independents, totes amb distribució uniforme a l'interval $[0,1]$ i $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}U_{i}$. Llavors, per la fórmula de canvi de variables per a variables aleatòries, $$f_{n}(x;a,b)={\frac {1}{b-a}}\,f_{n}{\Big (}{\frac {x-na}{b-a}}{\Big )},\ x\in [na,nb].$$

L0batxevski considera el cas de la suma de variable

Siguin variables aleatòries independents, amb distribució uniforme en l'interval $[a,b]$, amb $a<b$, i designem per $f_{M_{n}}(x;a,b)$ la funció de densitat de la mitjana ${\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}V_{n}$ aleshores $$f_{M_{n}}(x;a,b)={\frac {1}{b-a}}\,f_{M_{n}}{\Big (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Big )},\ x\in [a,b].$$

Anàlogament, si designem per $f_{S_{n}}(x;a,b)$ la funció de densitat de la suma $\sum _{j=1}^{n}V_{n}$, $$f_{S_{n}}(x;a,b)={\frac {1}{b-a}}\,f_{S_{n}}{\Big (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Big )},\ x\in [na,nb].$$

El cas de Lobatxevski

Lovatxevski considera el cas $b=1$ i $a=-1$ , és a dir, les variables de partida tenen distribució uniforme a l'interval $[-1,1]$. Llavors la densitat de la seva mitjana és$$f_{M_{n}}(x;-1,1)={\frac {n}{2^{n}(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\Big (}nx+n-2k{\Big )}_{+}^{n-1},\ x\in [-1,1].$$I la densitat de la suma és $$f_{S_{n}}(x;-1,1)={\frac {1}{2^{n}(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\Big (}x+n-2k{\Big )}_{+}^{n-1},\ x\in [-n,n].$$

D'acord amb Maistrov , Lobatxevski tenia interès en aquesta distribució perquè volia estimar si la suma dels angles d'un gran triangle astronòmic era menor que $180^{\circ }$, amb la qual cosa es tindria una prova que la geometria de l'univers era no euclidiana (hiperbòlica). Vegeu Brylevskaya per als detalls.

Podem escriure $$f_{n}(x)={\begin{cases}f_{n}^{(0)}(x),&{\text{si}}\ x\in [0,1],\\f_{n}^{(1)}(x),&{\text{si}}\ x\in [1,2],\\\ \vdots &\\f_{n}^{(n-1)}(x),&{\text{si}}\ x\in [n-1,n],\end{cases}}$$on $f_{n}^{(0)},\dots ,f_{n}^{(n-1)}$ són polinomis de grau $n-1$: $$f_{n}^{(k)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{j=0}^{n-1}a_{j}(k,n)\,x^{j},\quad k=0,\dots ,n-1.$$Els coeficients $a_{j}(k,n)$ és poden obtenir recursivament en $k$ per la fórmula $$a_{j}(k,n)={\begin{cases}0,&{\text{per a}}\ k=0,\ j=0,\dots ,n-1,\\\\1,&{\text{per a}}\ k=0,\ j=n-1,\\a_{j}(k-1,n)+(-1)^{n+k-j-1}{\dbinom {n}{k}}{\dbinom {n-1}{j}}k^{n-j-1},&{\text{per a}}\ k=1,\dots ,n-1,\,j=0,,\dots ,n-1.\end{cases}}$$Per exemple, per a $n=4$ tenim, per $k=0$ , $$a_{0}(0,4)=a_{1}(0,4)=a_{2}(0,4)=0,\ a_{3}(0,4)=1.$$Per tant, $$f_{4}^{(0)}(x)={\frac {1}{6}}\,x^{3}.$$Per a $k=1$, tenim $$a_{0}(1,4)=4,\,a_{1}(1,4)=-12,\,a_{2}(1,4)=12,\,a_{3}(1,4)=-3.$$D'on $$f_{4}^{(1)}(x)={\frac {1}{6}}(4-12x+12x^{2}-3x^{3}).$$Calculant els altres coeficients tenim, $$f_{4}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{6}}\,x^{3},&{\text{si}}\ x\in [0,1],\\{\frac {1}{6}}(4-12x+12x^{2}-3x^{3}),&{\text{si}},x\in [1,2],\\{\frac {1}{6}}(-44+60x-24x^{2}+3x^{3}),&{\text{si}},x\in [2,3],\\{\frac {1}{6}}(64-48x+12x^{2}-x^{3}),&{\text{si}},x\in [3,4].\end{cases}}$$

Demostració de la fórmula per als coeficients $a_{j}(k,n)$

De l'expressió (3) de $f_{n}(x)$ tenim que

$$f_{n}^{(0)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}x^{n-1}.$$ Per tant, $$a_{0}(0,n)=a_{1}(0,n)=\cdots =a_{n-2}(0,n)=0\quad {\text{i}}\quad a_{n-1}(0,n)=1.$$ A més, també de (3), per a $j=1,\dots ,n-1$, $$f_{n}^{(k)}(x)=f_{n}^{(k-1)}(x)+{\frac {1}{(n-1)!}}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(x-k)^{n-1}=f_{n}^{(k-1)}(x)+{\frac {1}{(n-1)!}}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}\sum _{j=0}^{n-1}(-1)^{n-1-j}{\binom {n-1}{j}}x^{j}k^{n-1-j}.$$

En conseqüència, ajuntant els dos coeficiens de $x^{j}$ de la dreta, tenim $$a_{j}(k,n)=a_{j}(k-1,n)+(-1)^{n+k-j-1}{\binom {n}{k}}{\binom {n-1}{j}}k^{n-j-1}.$$

D'altra banda, la successió $$\overbrace {\underbrace {a_{0}(0,1)} _{\color {red}k=0}} ^{\color {blue}n=1},\overbrace {\underbrace {a_{0}(0,2),a_{1}(0,2)} _{\color {red}k=0},\underbrace {a_{0}(1,2),a_{1}(1,2)} _{\color {red}k=1}} ^{\color {blue}n=2},\overbrace {\underbrace {a_{0}(0,3),a_{1}(0,3),a_{2}(0,3)} _{\color {red}k=0},\underbrace {a_{0}(1,3),a_{1}(1,3),a_{2}(1,3)} _{\color {red}k=1},\underbrace {a_{0}(2,3),a_{1}(2,3),a_{2}(2,3)} _{\color {red}k=2}} ^{\color {blue}n=3},\dots$$ està recoollida a i es donen els seus valors fins al terme $a_{0}(4,5)$. A més, hi ha fórmules per als programari Mathematica i Maple per a calcular qualsevol terme. Per a $n=5$ tenim $$f_{5}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{24}}\,x^{4},&{\text{si}}\ x\in [0,1],\\{\frac {1}{24}}(-5+20x-30x^{2}+20x^{3}-4x^{4}),&{\text{si}}\ x\in [1,2],\\{\frac {1}{24}}(155-300x+210x^{2}-60x^{3}+6x^{4}),&{\text{si}}\ x\in [2,3],\\{\frac {1}{24}}(-655+780x-330x^{2}+60x^{3}-4x^{4}),&{\text{si}}\ x\in [3,4],\\{\frac {1}{24}}(625-500x+150x^{2}-20x^{3}+x^{4}),&{\text{si}}\ x\in [4,5].\end{cases}}$$

Coeficients ${\boldsymbol {a_{j}(k,n)}}$ per a ${\boldsymbol {n=5}}$

${\begin{aligned}\color {red}j&\\&\quad \color {green}k\end{aligned}}$	0	1	2	3	$\cdots$
0	0	0	0	0	1
1	-5	20	-30	20	-4
2	155	-300	210	-60	6
3	-655	780	-330	60	-4
4	625	-500	150	-20	1

Escrit en termes de polinomis, $$f_{5}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{24}}\,x^{4},&{\text{si}}\ x\in [0,1],\\{\frac {1}{24}}(-5+20x-30x^{2}+20x^{3}-4x^{4}),&{\text{si}}\ x\in [1,2],\\{\frac {1}{24}}(155-300x+210x^{2}-60x^{3}+6x^{4}),&{\text{si}}\ x\in [2,3],\\{\frac {1}{24}}(-655+780x-330x^{2}+60x^{3}-4x^{4}),&{\text{si}}\ x\in [3,4],\\{\frac {1}{24}}(625-500x+150x^{2}-20x^{3}+x^{4}),&{\text{si}}\ x\in [4,5].\end{cases}}$$

Podem escriure $$f_{n}(x)={\begin{cases}f_{n}^{(0)}(x),&{\text{si}}\ x\in [0,1],\\f_{n}^{(1)}(x),&{\text{si}}\ x\in [1,2],\\\ \vdots &\\f_{n}^{(n-1)}(x),&{\text{si}}\ x\in [n-1,n],\end{cases}}$$on $f_{n}^{(0)},\dots ,f_{n}^{(n-1)}$ són polinomis de grau $n-1$: $$f_{n}^{(k)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{j=0}^{n-1}a_{j}(k,n)\,x^{j},\quad k=0,\dots ,n-1.$$De l'expressió (2) de $f_{n}(x)$ tenim que $$f_{n}^{(0)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}x^{n-1}.$$

Per tant, $$a_{0}(0,n)=a_{1}(0,n)=\cdots =a_{n-2}(0,n)=0\quad {\text{i}}\quad a_{n-1}(0,n)=1.$$A més, també de (2), per a $j=1,\dots ,n-1$ , $$f_{n}^{(k)}(x)=f_{n}^{(k-1)}(x)+{\frac {1}{(n-1)!}}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(x-k)^{n-1}=f_{n}^{(k-1)}(x)+{\frac {1}{(n-1)!}}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}\sum _{j=0}^{n-1}(-1)^{n-1-j}{\binom {n-1}{j}}x^{j}k^{n-1-j}.$$En conseqüència, $$a_{j}(k,n)=a_{j}(k-1,n)+(-1)^{n+k-j-1}{\binom {n}{k}}{\binom {n-1}{j}}k^{n-j-1}.$$

Resumint, $$a_{j}(k,n)={\begin{cases}0,&{\text{per a}}\ k=0,\ j=0,\dots ,n-1,\\\\1,&{\text{per a}}\ k=0,\ j=n-1,\\a_{j}(k-1,n)+(-1)^{n+k-j-1}{\dbinom {n}{k}}{\dbinom {n-1}{j}}k^{n-j-1},&{\text{per a}}\ k=1,\dots ,n-1,\,j=0,,\dots ,n-1.\end{cases}}$$Per exemple, per a $n=4$, $${\begin{array}{llll}a_{0}(0,4)=0,&a_{1}(0,4)=0,&a_{2}(0,4)=0,&a_{3}(0,4)=1,\\a_{0}(1,4)=4,&a_{1}(1,4)=-12,&a_{2}(1,4)=12,&a_{3}(1,4)=-3,\\a_{0}(2,4)=-44,&a_{1}(2,4)=60,&a_{2}(2,4)=-24,&a_{3}(2,4)=3,\\a_{0}(3,4)=64,&a_{1}(3,4)=-48,&a_{2}(3,4)=12,&a_{3}(3,4)=-1,\\\end{array}}$$ D'on, $${\begin{aligned}f_{4}^{(0)}(x)&={\frac {1}{6}}\,x^{3}.\\f_{4}^{(1)}(x)&={\frac {1}{6}}(4-12x+12x^{2}-3x^{3}).\\f_{4}^{(2)}(x)&={\frac {1}{6}}(-44+60x-24x^{2}+3x^{3}).\\f_{4}^{(3)}(x)&={\frac {1}{6}}(64-48x+12x^{2}-x^{3}).\end{aligned}}$$
D'altra banda, la successió $$\overbrace {\underbrace {a_{0}(0,1)} _{\color {red}k=0}} ^{\color {blue}n=1},\overbrace {\underbrace {a_{0}(0,2),a_{1}(0,2)} _{\color {red}k=0},\underbrace {a_{0}(1,2),a_{1}(1,2)} _{\color {red}k=1}} ^{\color {blue}n=2},\overbrace {\underbrace {a_{0}(0,3),a_{1}(0,3),a_{2}(0,3)} _{\color {red}k=0},\underbrace {a_{0}(1,3),a_{1}(1,3),a_{2}(1,3)} _{\color {red}k=1},\underbrace {a_{0}(2,3),a_{1}(2,3),a_{2}(2,3)} _{\color {red}k=2}} ^{\color {blue}n=3},\dots$$ es troba calculada fins al terme $a_{0}(4,5)$, i, a més, o hi ha fórmules per als programari Mathematica i Maple. En particular, per a $n=5$ tenim

Coeficients ${\boldsymbol {a_{j}(k,n)}}$ per a ${\boldsymbol {n=5}}$

${\begin{aligned}\color {red}j&\\&\quad \color {green}k\end{aligned}}$	0	1	2	3	$\cdots$
0	0	0	0	0	1
1	-5	20	-30	20	-4
2	155	-300	210	-60	6
3	-655	780	-330	60	-4
4	625	-500	150	-20	1

Escrit en termes de polinomis, $$f_{5}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{24}}\,x^{4},&{\text{si}}\ x\in [0,1],\\{\frac {1}{24}}(-5+20x-30x^{2}+20x^{3}-4x^{4}),&{\text{si}}\ x\in [1,2],\\{\frac {1}{24}}(155-300x+210x^{2}-60x^{3}+6x^{4}),&{\text{si}}\ x\in [2,3],\\{\frac {1}{24}}(-655+780x-330x^{2}+60x^{3}-4x^{4}),&{\text{si}}\ x\in [3,4],\\{\frac {1}{24}}(625-500x+150x^{2}-20x^{3}+x^{4}),&{\text{si}}\ x\in [4,5].\end{cases}}$$