Modulimuoto

Modulimuodot ovat funktioryhmiä, jotka on määritelty kompleksitason ylemmässä puoliskossa. Ne keksittiin vasta 1800-luvulla ja ovat oma abstrakti matematiikan alueensa. Modulimuodot ovat monin tavoin symmetrisiä; symmetria tulee esiin tyypillisellä muunnoksella $f(z)\Rightarrow f((az+b)/(cz+d))$.

Esimerkki

Dedekindin eetafunktio määritellään

$\eta (z)=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n}),\ q=e^{2\pi iz}.$

Silloin modulaarinen diskriminantti Δ(z) = η(z)²⁴ on modulimuoto.

Automorfiset muodot ja muita yleistyksiä

Modulimuodot voidaan yleistää sallimalla funktio $\varepsilon (a,b,c,d)$ niin että $\left|\varepsilon (a,b,c,d)\right|=1$ ja

$f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}f(z).$

Funktiot muotoa $\varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}$ tunnetaan automorfisina kertoimina.

Toinen yleistys on Hilbert-modulimuodot.

Formaali määritelmä

Kirjassa on annettu modulimuodon formaali määritelmä seuraavasti: Olkoon $N$ positiivinen kokonaisluku. Tällöin algebrallinen käyrä $X_{0}(N)$ on tasoa $N$ oleva modulikäyrä. Säännöllinen differentiaalimuoto modulikäyrällä $X_{0}(N)$ on tasoa $N$ oleva $\mathbb {Q}$-kertoiminen modulimuoto.

Kirjassa on annettu modulimuodon formaali määritelmä seuraavasti: Olkoon $k$ kokonaisluku. Meromorfinen funktio $f:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C}$ on heikosti modulaarinen painolla $k$ jos $f(\gamma (\tau ))=(c\tau +t)^{k}f(\tau )$ kun $\gamma ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ ja $\tau \in {\mathcal {H}}$.

Funktio $f:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C}$ on modulimuoto painolla $k$, jos $f$ on holomorfinen sekä ${\mathcal {H}}$:ssa että $\infty$:ssä ja $f$ on heikosti modulaarinen painolla $k$