Przestrzeń l1

Przestrzeń ℓ₁ – przestrzeń Banacha ℓ_p przy p = 1; przestrzeń ciągów bezwzględnie sumowalnych, tj. przestrzeń wszystkich ciągów liczbowych (x_n) dla których

$\|(x_{n})_{n=1}^{\infty }\|_{\ell _{1}}=\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|<+\infty .$

Definicja ta rozszerza się na dowolne zbiory indeksów - dla dowolnego zbioru niepustego Г definiuje się przestrzeń ℓ₁(Г) złożoną z funkcji skalarnych na Г, które są bezwzględnie sumowalne (w szczególności, zbiór elementów dziedziny każdej takiej funkcji na których jest ona niezerowa jest zbiór przeliczalny).

Własności

• Przestrzeń ℓ₁ nie jest refleksywna; jej przestrzeń sprzężona jest w naturalny sposób izomorficzna z przestrzenią ℓ_∞, tj. przestrzenią wszystkich ograniczonych ciągów liczbowych. Dualność wyznaczona jest przez związek

$\langle x,y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}\cdot y_{n},\;\;x=(x_{n})_{n=1}^{\infty }\in \ell _{1}\;{\big (}y=(y_{n})_{n=1}^{\infty }\in \ell _{\infty }{\big )}.$

Dla dowolnego zbioru Г również w podobny sposób można utożsamić (ℓ₁(Г))* z ℓ_∞(Г):

$\langle x,y\rangle =\sum _{\gamma \in \Gamma }x(\gamma )\cdot y(\gamma )\;\;{\big (}x\in \ell _{1}(\Gamma ),\;y\in \ell _{\infty }(\Gamma ){\big )}.$

Jeżeli przestrzeń Banacha E ma tę własność, iż przestrzeń sprzężona E* jest izometryczna z ℓ_∞(Г), to E jest izometryczna z ℓ₁(Г).

• Przestrzeń Banacha E jest projektywna, gdy dla każdej przestrzeni Banacha F, każdej przestrzeni F₀ będącej obrazem pewnego (ograniczonego) operatora surjektywnego Q: F → F₀ (por. twierdzenie o odwzorowaniu otwartym) oraz każdego operatora T₀: E → F₀ istnieje taki operator T: E → F, że T₀ = QT. Każda projektywna przestrzeń Banacha jest izomorficzna z przestrzenią ℓ₁(Г) dla pewnego zbioru Г.
• Przestrzeń ℓ₁ ma bazę Schaudera (e_n) złożoną z ciągów spełniających warunki e_n(m) = 1, gdy m = n i e_n(m) = 0, gdy m ≠ n. Jest to bezwarunkowa baza Schaudera.
• Przestrzeń ℓ₁ jest izomorficzna z sumą prostą swoich dwóch kopii a także z ℓ₁-sumą prostą ℓ₁(ℓ₁); por. metoda rozkładu Pełczyńskiego.
• Przestrzeń ℓ₁ jest słabo ciągowo zupełna.

Własność Schura

Przestrzeń ℓ₁ ma własność Schura, tj. ciągi zbieżne w ℓ₁ w sensie słabej topologii są również zbieżne w sensie normy. Fakt ten udowodnił I. Schur w 1921.

Dowód. Bez straty ogólności można ograniczyć się do wykazania, że jeżeli (f_n) jest ciągiem elementów przestrzeni ℓ₁ zbieżnym słabo do 0 (tj. ‹ f_n, g › → 0 dla każdego g ∈ ℓ_∞), to ||f_n|| → 0. Ze słabej zbieżności ciągu (f_n) wynika zbieżność punktowa do 0 (wystarczy rozważać elementy standardowej bazy przestrzeni c₀ za funkcjonały g). Dowód będzie przebiegał przez kontrapozycję. Załóżmy, że ciąg norm ||f_n|| nie zbiega do 0, ale zbiega do 0 słabo. Brak zbieżności w normie do 0 oznacza, że przy ustalonym ε > 0, istnieje taki podciąg (f_nk), że ||f_nk|| > ε dla wszelkich k. Ciąg (f_n1) należy do ℓ₁, a zatem istnieje takie M₁ naturalne, że

$\textstyle \sum _{k\geqslant M_{1}}|f_{n_{1}}(k)|<{\frac {1}{100}}\varepsilon .$

Ponieważ ||f_n1|| > ε, zachodzi oszacowanie

$\textstyle \sum _{k\leqslant M_{1}}|f_{n_{1}}(k)|>\varepsilon -{\frac {1}{100}}\varepsilon ={\frac {99}{100}}\varepsilon .$

Istnieje zatem taki indeks n_k2 > n_k1 := n₁, że

$\textstyle \sum _{k\geqslant M_{1}}|f_{n_{k_{2}}}(k)|<{\frac {1}{100}}\varepsilon .$

Musi zatem istnieć takie M₂ > M₁, że

$\textstyle \sum _{M_{1}\leqslant k\leqslant M_{2}}|f_{n_{k_{2}}}(k)|>{\frac {99}{100}}\varepsilon -{\frac {1}{100}}\varepsilon ={\frac {98}{100}}\varepsilon .$

Kontynuując ten proces indukcyjnie, można dojść do ściśle rosnącego ciągu liczb naturalnych (M_j) oraz podciągu f_nkj o tej własności, że

$\textstyle \sum _{M_{j-1}\leqslant k\leqslant M_{j}}|f_{n_{k_{j}}}(k)|>{\frac {98}{100}}\varepsilon \;\;\;(j\geqslant 2).$

Niech g = (g(k)) będzie ciągiem liczbowym danym wzorem

$g(k)={\frac {\overline {f_{n_{k_{j}}}(k)}}{|f_{n_{k_{j}}}(k)|}},$

gdy k należy do przedziału [M_j, ..., M_j+1). Wówczas g ∈ ℓ_∞ oraz ||g|| = 1. Ostatecznie, dla wszelkich j ≥ 2 zachodzi oszacowanie

${\begin{array}{lcl}|\langle f_{n_{k_{j}}},g\rangle |&\geqslant &\left|\sum _{M_{j-1}\leqslant k<M_{j}}|f_{n_{k_{j}}}(k)g(k)|\right|-\left|\sum _{k<M_{j-1}}|f_{n_{k_{j}}}(k)g(k)|\right|-\left|\sum _{k\geqslant M_{j}}|f_{n_{k_{j}}}(k)g(k)|\right|\\&\geqslant &\left|\sum _{M_{j-1}\leqslant k<M_{j}}|f_{n_{k_{j}}}(k)g(k)|\right|-\|g\|\left|\sum _{k\neq M_{j-1},\ldots ,M_{j}-1}|f_{n_{k_{j}}}(k)|\right|\\&>&{\frac {98}{100}}\varepsilon -{\frac {1}{100}}\varepsilon -{\frac {1}{100}}\varepsilon \\&=&{\frac {96}{100}}\varepsilon ,\end{array}}$

które prowadzi do sprzeczności z założeniem o słabej zbieżności ciągu (f_n) do 0.

W odróżnieniu od przestrzeni ℓ₁, przestrzeń L₁ nie ma własności Schura ponieważ zawiera nieskończenie wymiarową przestrzeń Hilberta (która jako przestrzeń refleksywna nie ma własności Schura).

Bibliografia

• F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory. Springer-Verlag GmbH, 2006, s. 37. ISBN 978-0-387-28141-4.
• M. Fabian, P. Habala, P. Hájek, V. Montesinos, V. Zizler, Banach Space Theory: The Basis for Linear and Nonlinear Analysis, CMS Books in Math. Springer, 2011, s. 252.