Słaba topologia

Słaba topologia – alternatywna (w stosunku do wyjściowej) topologia na danej przestrzeni liniowo-topologicznej, będąca uogólnieniem idei zbieżności po współrzędnych (w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowych słaba topologia pokrywa się z wyjściową topologią).

Słaba topologia to najmniejsza topologia na przestrzeni liniowo-topologicznej, zwykle lokalnie wypukłej, w której wszystkie funkcjonały liniowe są ciągłe (w sensie mocnej topologii) – innymi słowy dla przestrzeni liniowo-topologicznej $X$ o nietrywialnej przestrzeni sprzężonej (topologicznie) $X^{*}$ jest to topologia wprowadzona przez rodzinę przekształceń

\{x^{*}:x^{*}\in X^{*}\};

jeśli $\tau$ jest (mocną) topologią w $X,$ to słabą topologię oznacza się zwykle symbolem $\tau ^{*}.$ Innym sposobem wprowadzenia tej topologii jest podanie bazy otoczeń zera.

Przykład: rozpatrzmy nieskończony ciąg $(e_{n})$ elementów przestrzeni $\ell _{2}$ , w którym kolejne elementy $e_{n}$ mają na $n$ -tym miejscu jedynkę, a na pozostałych zera. Ciąg ten jest słabo zbieżny do $0\in \ell _{2}.$ Natomiast względem normy dany ciąg jest rozbieżny (mimo bycia ograniczonym). Dlatego zbiór $\{e_{n}:n=1,2,\dots \}$ jest domknięty w silnej topologii, ale nie w słabej topologii. Z kolei zbiór $\{0\}\cup \{e_{n}:n=1,2,\dots \}$ jest domknięty w obu topologiach, ale zwarty tylko w słabej topologii.

Z kolei mocna zbieżność zawsze pociąga słabą. Słaba topologia zwiększa rodzinę zbiorów zwartych i zmniejsza rodzinę zbiorów domkniętych (mówi się wtedy o słabej zwartości czy słabej domkniętości). Para topologii mocnej i słabej wspólnie stanowi ważne narzędzie analizy funkcjonalnej.

Własności

Niech $X$ będzie rzeczywistą bądź zespoloną przestrzenią liniową oraz niech ${\mathcal {F}}$ będzie niepustą rodziną funkcjonałów liniowych przestrzeni $X$ taką, że dla każdego niezerowego $x\in X$ istnieje $f\in {\mathcal {F}}$ taki, że $f(x)\neq 0.$ Wówczas

$(X,+,\cdot ,\tau ({\mathcal {F}}))$ jest przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą,
rodzina ${\mathcal {F}}$ jest zawarta w przestrzeni sprzężonej $(X,\tau ({\mathcal {F}}))^{\star },$ ponadto jeśli ${\mathcal {F}}$ sama jest przestrzenią liniową, to ${\mathcal {F}}=(X,\tau ({\mathcal {F}}))^{\star }.$
podzbiór $A$ przestrzeni $(X,\tau ({\mathcal {F}}))$ jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $f\in {\mathcal {F}}$ istnieje $M\in [0,\infty ),$ że dla każdego $x\in A{:}$ $|f(x)|\leqslant M,$
ciąg punktów $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ przestrzeni $X$ jest zbieżny do punktu $x$ tej przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy $\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(x)$ dla każdego $f\in {\mathcal {F}}.$
Jeżeli przestrzeń liniowo-topologiczna jest nieskończenie wymiarowa, to każde jej słabe otoczenie zawiera nieskończenie wymiarową podprzestrzeń liniową. Ponadto, przestrzeń ta nie jest lokalnie ograniczona.
Jeżeli przestrzeń liniowo-topologiczna jest lokalnie wypukła, to domknięcie zbioru wypukłego w wyjściowej topologii pokrywa się z domknięciem tego zbioru w sensie słabej topologii.
Twierdzenie Mazura: Niech $X$ będzie metryzowalną przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą. Jeżeli punkt $x\in X$ jest słabą granicą ciągu $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ punktów tej przestrzeni, to jest (mocną) granicą pewnego ciągu punktów otoczki wypukłej zbioru $\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \}.$

Topologia *-słaba

Niech $(X,{\mathcal {T}})$ będzie przestrzenią liniowo-topologiczną nad ciałem $K$ liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Dla każdego $x\in X$ można określić funkcjonał $\Phi _{x}\colon X^{\star }\to K$ dany wzorem

\Phi _{x}(x^{*})=x^{*}x.

Dla każdego $x\in X$ funkcjonał $\Phi _{x}$ jest liniowy ponadto dla każdego $x^{\star }\in X^{*}\setminus \{0\}$ istnieje $x\in X$ taki, że

\Phi _{x}(x^{*})\neq 0.

Topologię $\tau (\{\Phi _{x}:x\in X\})$ wprowadzoną w zbiorze $X^{*}$ przez rodzinę $\{\Phi _{x}:x\in X\}$ nazywamy topologią *-słabą i oznaczamy symbolem ${{\mathcal {T}}^{w}}^{*}.$

Przestrzeń $(X^{*},{{\mathcal {T}}^{w}}^{*})$ jest lokalnie wypukła, a rodzina

\{\{x^{\star }\in X^{\star }:|x^{\star }x_{1}|<{\tfrac {1}{n_{1}}},\dots ,|x^{\star }x_{m}|<{\tfrac {1}{n_{m}}}\}:x_{1},\dots ,x_{m}\in X,n_{1},\dots ,n_{m}\in \mathbb {N} ,m\in \mathbb {N} \}

jest jej bazą lokalną złożoną ze zbiorów zbalansowanych i wypukłych.

Jeżeli $X^{*}$ jest przestrzenią nieskończenie wymiarową, to każde *-słabe otoczenie zera zawiera nieskończenie wymiarową podprzestrzeń liniową.
Jeżeli $X$ jest przestrzenią unormowaną oraz ${\mathcal {T}}^{*}$ oznacza topologię wyznaczoną normę w przestrzeni $X^{*},$ to ${{\mathcal {T}}^{w}}^{*}=({{\mathcal {T}}^{*}})^{w}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest przestrzenią refleksywną.

Bibliografia

Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001.