Funkcja multiplikatywna

Funkcja multiplikatywna – w teorii liczb funkcję arytmetyczną $f$ określoną na zbiorze liczb naturalnych nazywamy multiplikatywną, jeżeli dla wszystkich względnie pierwszych liczb $m,$ $n$ spełniony jest warunek

$f(mn)=f(m)f(n).$

Jeżeli warunek ten spełniony jest dla wszystkich liczb naturalnych $m$ i $n,$ to funkcję $f$ nazywamy całkowicie multiplikatywną.

Przykłady

Niektóre spośród najważniejszych funkcji multiplikatywnych w teorii liczb to:

• $\varphi (n){:}$ funkcja φ Eulera, liczba mniejszych liczb naturalnych od $n,$ które są względnie pierwsze z $n$ – innymi słowy, rząd grupy $\mathbb {Z} _{n}^{*}$
• $\tau (n){:}$ funkcja τ, liczba dodatnich dzielników liczby $n,$
• $\sigma (n){:}$ funkcja σ, suma dodatnich dzielników liczby $n,$
• $\mu (n){:}$ funkcja Möbiusa,
• $\mathrm {Id} (n){:}$ funkcja tożsamościowa,
• $1(n){:}$ funkcja stale równa 1,
• $\varepsilon (n){:}$ element neutralny splotu Dirichleta, $\varepsilon (1)=1,$ $\varepsilon (n)=0$ dla $n>1.$

Zależność algebraiczna

Można udowodnić, że dla dowolnej funkcji multiplikatywnej $f$ jej wartości są zależne od wartości dla potęg liczb pierwszych:

Jeżeli $n=\prod \limits _{p}^{}p^{\alpha _{p}(n)}$ jest rozkładem na liczby pierwsze liczby $n,$ to $f(n)=\prod \limits _{p}^{}f(p^{\alpha _{p}(n)}),$ a $f(1)=1.$

Dowód

Pierwszą równość otrzymujemy z definicji oraz z faktu, że wszystkie liczby postaci $p^{\alpha _{p}(n)}$ są względnie pierwsze. Ponadto $f(1)f(n)=f(n),$ ponieważ $(n,1)=1,$ z czego wynika druga równość.

Struktura algebraiczna

Zbiór funkcji multiplikatywnych tworzy grupę przemienną z operacją splotu Dirichleta. Oznacza to między innymi, że splot Dirichleta funkcji multiplikatywnych jest funkcją multiplikatywną. Oto niektóre spośród tożsamości wiążących wymienione wyżej funkcje multiplikatywne poprzez operację splotu:

$\mu *1=\varepsilon ;\;{}$ $\varphi *1=\mathrm {Id} ;\;{}$ $1*1=\tau ;\;{}$ $\mathrm {Id} *1=\sigma ;\;{}$ $\varphi *\tau =\sigma ;\;{}$ $\sigma *\mu =\mathrm {Id} .$

Zobacz też

• równanie funkcyjne

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Multiplicative Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-08-30].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Multiplicative Number Theoretic Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-08-30].
• Multiplicative arithmetic function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-30].