Liczby naturalne

Półprosta przedstawiająca liczby naturalne z zerem (0) – wariant osi liczbowej

Pogrubiona, duża litera N – standardowy symbol zbioru liczb naturalnych.

Liczby naturalne – podstawowy typ liczb, rozumiany dwojako:

• w sensie szerszym są to moce zbiorów skończonych: 0, 1, 2...;
• w sensie węższym są to moce niepustych zbiorów skończonych: 1, 2, 3...

Liczby te opisują liczności i kolejności, przez co odpowiadają liczebnikom głównym i porządkowym. Dodatnie liczby naturalne są używane przez ludzi od prehistorii i częściowo też przez inne gatunki zwierząt, a do ich zapisu wprowadzono cyfry. Czasy historyczne przyniosły dalszy rozwój matematyki, w tym rozumienia liczb naturalnych:

• pojęcie zera;
• efektywny zapis – systemy pozycyjne, a potem też notację wykładniczą służącą m.in. do dużych liczb naturalnych oraz strzałkową do jeszcze większych;
• ścisłe definicje, oparte na teorii mnogości.

Zbiór wszystkich liczb naturalnych oznacza się symbolem $\mathbb {N}$. Jest przedmiotem badań różnych działów matematyki jak arytmetyka – elementarna, wyższa i modularna – oraz kombinatoryka, inne obszary matematyki dyskretnej, algebra i metamatematyka. Za pomocą liczb naturalnych definiuje się inne struktury jak:

• liczby całkowite, konstruowane z nich liczby wymierne, rzeczywiste i ich dalsze uogólnienia;
• ciągi – są to funkcje, których dziedziną jest podzbiór zbioru liczb naturalnych;
• zbiory przeliczalne.

Nazewnictwo i oznaczenia

Termin liczby naturalne pojawił się w pewnej postaci w XV wieku, a w XVIII wieku stał się powszechny, występując m.in. w Encyklopedii Britannica. Najpóźniej w XIX wieku pojawiło się włączanie zera do tego zbioru. Odtąd wśród matematyków występują różne konwencje:

• starszego znaczenia, bez zera, używają m.in. Wacław Sierpiński i Aleksander Ivić;
• nowszego znaczenia, z zerem, używali m.in.:
  • John von Neumann – jego model liczb naturalnych w teorii mnogości, opisany w dalszej sekcji, opiera się na zbiorze pustym $\emptyset$ utożsamianym z zerem;
  • John Horton Conway;
  • polskie szkolnictwo – konwencję tę stosują edukacyjne strony WWW prowadzone przez Ministerstwo Edukacji Narodowej (MEN) oraz podręczniki szkolne zatwierdzone przez ministerstwo.

Oprócz symbolu $\mathbb {N}$ stosuje się też inne, bardziej jednoznaczne:

• bez zera: $\{1,2,\dots \}=\mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} ^{+}=\mathbb {N} _{0}\smallsetminus \{0\}=\mathbb {N} _{1}=\mathbb {Z} _{+};$
• z zerem: $\{0,1,2,\dots \}=\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} ^{0}=\mathbb {N} ^{*}\cup \{0\}.$

Definicje

Postulaty Peana

Giuseppe Peano (1858–1932)

Podanie ścisłej definicji zbioru liczb naturalnych, choć proste, zajęło matematykom wiele czasu. Giuseppe Peano zaproponował następujące warunki (tzw. postulaty lub aksjomaty Peana), które musi spełniać dowolna konstrukcja zbioru liczb naturalnych:

• 0 jest liczbą naturalną,
• Każda liczba naturalna ma swój następnik, oznaczany $S(a),$
• 0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej,
• Różne liczby naturalne mają różne następniki: $a\neq b\Rightarrow S(a)\neq S(b),$
• Jeśli 0 ma daną własność i następnik dowolnej liczby naturalnej o tej własności również ma tę własność, to każda liczba naturalna ma tę własność (zasada indukcji matematycznej).

Z ostatniej własności wynika, że każda liczba naturalna jest albo zerem, albo następnikiem pewnej liczby naturalnej.

Gdyby w powyższej wersji aksjomatyki Peana zamienić 0 przez dowolny inny symbol (różny od S), to zmiana byłaby czysto formalna, nic istotnie nie zmieniłoby się. W szczególności można zamiast 0 napisać 1. Zauważmy, że aksjomaty Peana nic nie mówią o operacjach arytmetycznych takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie itd., ani też nie wspominają uporządkowania (relacji $\leqslant$). Definiują tylko operację następnika, S. Pozostałe pojęcia trzeba dopiero zdefiniować w terminach S. Okazuje się to możliwe. Poniżej, dwa warunki definiują dodawanie, dla którego 0 gra rolę elementu neutralnego (pierwszy warunek w definicji: $a+0=a$).

Dodawanie definiujemy jako operację spełniającą następujące warunki:

• $a+0=a,$
• $a+S(b)=S(a)+b.$

To wystarczy do wyliczenia sumy liczb, np. obliczając $2+2$ (dwa oznacza skrótowy zapis liczby S(S(0))), kolejno otrzymujemy:

• $2+2,$
• $2+S(1)$ bo 2 jest następnikiem 1,
• $S(2)+1$ z definicji,
• $3+1$ następnik 2 oznaczamy symbolem 3,
• $3+S(0)$ 1 jest następnikiem 0,
• $S(3)+0=S(3)$ z definicji,
• $S(3)=4$ następnik 3 oznaczamy symbolem 4.

Podobnie definiujemy mnożenie jako operację spełniającą warunki:

• $a\cdot 0=0,$
• $a\cdot S(b)=(a\cdot b)+a.$

W wersji liczb naturalnych wykluczającej 0, pierwszy aksjomat mnożenia $(a\cdot 0=0)$ byłby zastąpiony przez warunek: $a\cdot 1=a.$

Powyższe postulaty mówią, jakie własności mają liczby naturalne, z definicji. W ramach teorii mnogości zbiór liczb naturalnych, spełniający aksjomaty Peana, można skonstruować na wiele sposobów. Szczególnie popularna jest konstrukcja von Neumanna (patrz niżej).

Konstrukcja Fregego-Russella

Pierwsza konstrukcja liczb naturalnych, autorstwa Gottloba Fregego i niezależnie Bertranda Russella, definiuje je po prostu jako liczności (ściślej: moce) zbiorów skończonych.

Model von Neumanna

John von Neumann (1903–1957)

Animacja konstrukcji von Neumanna liczb naturalnych ze zbioru pustego

Jest to przykład eleganckiej konstrukcji zbioru liczb naturalnych w ramach teorii mnogości, podanej przez węgierskiego matematyka Johna von Neumanna – nie jedynej, ale jednej z ważniejszych:

Niech X – zbiór induktywny.

Niech $P:=\{Y\subset X:Y{\text{ - induktywny}}\}.$ Przecięcie $\mathbb {N} :=\cap P$ jest zbiorem induktywnym (dowód przy aksjomacie nieskończoności), zawartym w każdym innym induktywnym:

rzeczywiście, niech $Z$ – zbiór induktywny. To $\mathbb {N} \cap Z$ też jest zbiorem induktywnym (jako przecięcie zbiorów induktywnych), zawartym w $X,$ a więc zawierającym $\mathbb {N} ,$ a więc równym $\mathbb {N}$ – co kończy dowód.

Korzystając z induktywności $\mathbb {N} {:}$

• $\emptyset \in \mathbb {N}$ – oznaczamy jako 0,
• $S(\emptyset )=\{\emptyset \}$ – oznaczamy jako 1,
• $S(\{\emptyset \})=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}$ – oznaczamy jako 2
• $S(\{\emptyset ,\{\emptyset \}\})=\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}$ – oznaczamy jako 3
• ...
• $S(n)=n\cup \{n\}$ – oznaczamy jako $n+1$

Tak skonstruowany zbiór liczb naturalnych spełnia aksjomaty Peana.

Tak więc w modelu von Neumanna (i na ogół w teorii mnogości) za każdą liczbę naturalną uważamy zbiór składający się ze wszystkich poprzednich liczb naturalnych, np. $2=\{0,1\},$ $5=\{0,1,2,3,4\}$ itd.

Podstawowe własności

Moc

Alef zero – pierwsza nieskończona liczba kardynalna, definiowana jako moc zbioru liczb naturalnych

Liczby naturalne to podstawowy przykład zbioru nieskończonego – jest on równoliczny z częścią swoich podzbiorów właściwych. Moc tego zbioru nazywa się alef zero i oznacza $\aleph _{0};$ jest to najmniejsza nieskończona liczba kardynalna. Zbiory tej mocy nazywa się przeliczalnymi, przy czym czasem to pojęcie obejmuje też zbiory skończone.

Porządek

Dla dowolnych liczb naturalnych $k,m,n{:}$

• $m<n\Rightarrow m\leqslant n,$
• $\neg (n<n),$
• $m\leqslant n\wedge \neg (m=n)\Rightarrow m<n,$
• $S(m)=S(n)\Rightarrow m=n,$
• $n\leqslant k\leqslant S(n)\Rightarrow k=n\vee k=S(n),$
• $m=n\vee n<m\vee m<n.$

Działania

Relacja podzielności wprowadza w zbiorze liczb naturalnych częściowy porządek; można go przedstawić przez diagram Hassego. Relacja ta definiuje dwa działania: największy wspólny dzielnik (NWD) i najmniejszą wspólną wielokrotność (NWW). Zbiór liczb naturalnych z dwuargumentowymi wersjami tych działań tworzy kratę.

W zbiorze liczb naturalnych definiuje się szereg działań jak:

• minimum (min),
• maksimum (max),
• dodawanie (+),
• mnożenie (·),
• potęgowanie,
• największy wspólny dzielnik (NWD),
• najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW).

Przez to w algebrze abstrakcyjnej mówi się, że liczby naturalne tworzą struktury algebraiczne:

• większość tych działań – oprócz potęgowania – jest łączna, przez co liczby naturalne tworzą z nimi półgrupy;
• dodawanie, mnożenie i NWW mają wśród liczb naturalnych elementy neutralne – odpowiednio 0, 1 i 1 – przez co półgrupy te są nazywane monoidami;
• mnożenie jest też rozdzielne względem dodawania, przez co liczby naturalne z tymi dwoma działaniami (+,·) tworzą półpierścień;
• półpierścieniami są też liczby naturalne z działaniami minimum i dodawania (min,+) oraz maksimum i dodawania (max,+);
• działania NWD i NWW są też przemienne, idempotentne i spełniają inne warunki kraty.

Niektóre pary liczb naturalnych można też odejmować i dzielić, jednak wynik może nie być liczbą naturalną. Przez to mówi się, że działania te nie są wewnętrzne w tym zbiorze lub że nie jest on na nie zamknięty – nie są to działania na liczbach naturalnych w sensie algebry abstrakcyjnej.

Każda liczba naturalna:

• ma jednoznaczną faktoryzację – mówi o tym zasadnicze twierdzenie arytmetyki;
• jest sumą czterech kwadratów liczb naturalnych – mówi o tym arytmetyczne twierdzenie Lagrange’a.

Historia

Pierwsze systematyczne, abstrakcyjne studia nad liczbami przypisuje się starożytnym Grekom: Pitagorasowi, Euklidesowi i Archimedesowi. Poza Grecją niezależne rozważania prowadzono w rejonie Indii, Chin i Ameryki Środkowej.

Pierwszym krokiem do wyabstrahowania liczb naturalnych było stworzenie sposobu ich zapisu. W Babilonii stosowano na przykład cyfry o wartościach od 1 do 10, gdzie o wartości liczby decydowała pozycja kolejnych cyfr w szeregu. W starożytnym Egipcie stosowano odpowiednie hieroglify o wartościach 1, 10 i kolejnych potęgach 10, aż do miliona.

Choć wydawałoby się, że liczby naturalne są podstawowym pojęciem matematycznym i ich definicja była jedną z wcześniejszych, to jednak jest inaczej. Przykładowo bardziej skomplikowane liczby rzeczywiste (używane już w starożytności przez Eudoksosa, ok. 408 – ok. 355 p.n.e.) zostały zdefiniowane formalnie przez Dedekinda w połowie XIX w, podczas gdy definicję liczb naturalnych podał Giuseppe Peano pod koniec XIX w.

Zero

Pierwotnie zero było wykorzystywane jako pomoc w oznaczeniu „pustego miejsca”. Już w VII w. p.n.e. Babilończycy stosowali zero jako cyfrę w zapisie pozycyjnym, ale nigdy nie występowało ono samodzielnie jako liczba. W cywilizacji Majów zero było znane jako liczba już w I w. p.n.e. (być może znali je już w IV wieku p.n.e. wchłonięci przez Majów Olmekowie). W kulturze zachodniej zero, jako oddzielna, pełnoprawna wartość, pojawiło się znacznie później.

W roku 130 zera używał Klaudiusz Ptolemeusz. Współczesne pojęcie zera przypisuje się Hindusowi Brahmagupcie, pierwsze wzmianki pochodzą z roku 628. Zero stosowano niekonsekwentnie również w średniowieczu, nie miało ono jednak swojej reprezentacji w cyfrach rzymskich – stosowano łacińskie słowo nullae.

Rola filozoficzna

W filozofii matematyki najpóźniej w XIX wieku powstała doktryna finityzmu, według której są to jedyne liczby, jakimi powinna zajmować się matematyka. Słynne jest stwierdzenie Leopolda Kroneckera, propagatora arytmetyzacji wszystkich dziedzin matematyki: Liczby naturalne stworzył dobry Bóg. Reszta jest dziełem człowieka.

Uogólnienia

Wśród liczb całkowitych można wyróżnić podzbiór izomorficzny ze zbiorem liczb naturalnych. Innymi słowy istnieje podzbiór – z odziedziczonymi działaniami dodawania i mnożenia – spełniający aksjomaty Peana. To samo dotyczy dalszych uogólnień liczb całkowitych.

Zobacz też

• Rozumienie liczb przez zwierzęta
• Twierdzenia Gödla

Linki zewnętrzne

• JakubJ. Filipek JakubJ., Liczby (nie)naturalne, „Delta”, listopad 2024, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-01] .
• Tomasz Miller, Liczby naturalne | Zacznijmy od zera #0, Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych – Uniwersytet Jagielloński, kanał „Copernicus” na YouTube, 28 grudnia 2020 [dostęp 2023-11-26].
• Natural number (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].
• What are Numbers Made of?, kanał PBS Infinite Series na YouTube, 1 marca 2018 [dostęp 2024-08-23]