Funkcja Kempnera

Następująca wersja przejrzana tej strony, którą oznaczono 19 lip 2024, była oparta na tej wersji.

Funkcja Kempnera – funkcja S(n) dla zmiennej n zdefiniowana w następujący sposób:

jest to najmniejsza liczba S(n), dla której zachodzi podzielność (S(n))! przez n.

Przykładowo dla n=9 mamy S(n)=6, gdyż 9 dzieli liczbę 6!=720 i jednocześnie nie dzieli liczb 5!, 4!, 3!, 2! oraz 1!.

Jak można zauważyć n=S(n) gdy n jest liczbą pierwszą

Poniżej tabela wartości S(n) dla n od n=1 do n=29:

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
$S(n)$	1	2	3	4	5	3	7	4	6	5	11	4	13	7	5	6	17	6	19	5	7	11	23	4	10	13	9	7	29

Historia

Funkcja Kempnera była rozpatrywana jeszcze w XIX wieku przez Édouarda Lucasa^[1] (1883) oraz Josepha Neuberga^[2] (1887). W roku 1918 Aubrey J. Kempner podał algorytm obliczania liczby S(n)^[3].

Funkcja Kempnera nazywana jest niekiedy funkcją Smarandache’a ze względu na prace Florentina Smarandache z lat 80. XX wieku.

↑ E. Lucas: Question Nr. 288. In: Mathesis, 3, 1883, S. 232.
↑ J. Neuberg: Solutions de questions proposées, Question Nr. 288. In: Mathesis, 7, 1887, S. 68–69.
↑ Aubrey J. Kempner: Miscellanea. In: American Mathematical Monthly, 25, 1918, S. 201–210, doi:10.2307/2972639.

Kenichiro Kashihara: Comments and topics on Smarandache notions and problems. (PDF) Erhus University Press 1996, ISBN 1-87958-555-3.
Norbert Hungerbühler, Ernst Specker: A Generalisation of the Smarandache Function to Several Variables. (PDF) In: Electronic Journal of Combinatorical Number Theory, 6, 2006, #A23.
C. Dumitrescu, N. Virlan, St. Zamfir, E. Radescu, N. Radescu, F.Smarandache: Smarandache Type Function Obtained by Duality. In: Studii si Cercetari Stiintifice, Seria: Matematica, University of Bacau, No. 9, 1999, S. 49–72.
Sebastian Martin Ruiz, M. L. Perez: Properties and Problems related to Smarandache Type Functions. In: Mathematics Magazine for grades 1-12, 2/2004, S. 46–53.

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Smarandache Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).