Álgebra de Kac-Moody

 Nota: Para a álgebra de Kac-Moody generalizada, veja Álgebra de Lie.

Série de artigos sobre
Teoria das cordas
História
Objetos fundamentais Corda Corda cósmica P-brana D-brana
Teoria de perturbações Cordas bosônicas Supercordas: Tipo I Tipo II Cordas heteróticas
Não perturbativos S-dualidade T-dualidade U-dualidade Teoria-M Teoria-F Correspondência AdS/CFT
Fenomenologia Fenomenologia Cosmologia Paisagem
Equações e teorias Teoria de tudo Monstrous moonshine Álgebra de Kac-Moody P-brana negra E8
Conceitos Teoria de tudo Teoria do campo conformal Gravitação quântica Supersimetria Supergravitação Teoria Twistor (Cordas Twistor) Teoria supersimétrica N = 4 de Yang-Mills Teoria de Kaluza–Klein Multiverso Princípio holográfico Variedade de Calabi-Yau
Teóricos Aganagić Arkani-Hamed Atiyah Banks Berenstein Bousso Cleaver Curtright Dijkgraaf Distler Douglas Duff Ferrara Fischler Friedan Gates Gliozzi Gopakumar Green Greene Gross Gubser Gukov Guth Hanson Harvey Hořava Horowitz Gibbons Kachru Kaku Kallosh Kaluza Kapustin Klebanov Knizhnik Kontsevich Klein Linde Maldacena Mandelstam Marolf Martinec Minwalla Moore Motl Mukhi Myers Nanopoulos Năstase Nekrasov Neveu Nielsen van Nieuwenhuizen Novikov Olive Ooguri Ovrut Polchinski Polyakov Rajaraman Ramond Randall Randjbar-Daemi Roček Rohm Sagnotti Scherk Schwarz Seiberg Sen Shenker Siegel Silverstein Sơn Staudacher Steinhardt Strominger Sundrum Susskind 't Hooft Townsend Trivedi Turok Vafa Veneziano Verlinde Verlinde Wess Witten Yau Yoneya Zamolodchikov Zamolodchikov Zaslow Zumino Zwiebach

A álgebra de Kac-Moody, nomeada em honra de Victor Kac e Robert Moody, (também conhecida como álgebra de Kac-Moody Lie) é definida da seguinte forma.

Dado,

1) Uma n×n matriz generalizada de Cartan C = (c_ij) de classificação r.

2) Um vetor de espaço ${\mathfrak {h}}$ sobre os números complexos de dimensão 2n − r

3) Um conjunto de n elementos linearmente independentes $\alpha _{i}^{\vee }\$ de ${\mathfrak {h}}$e um conjunto de n elementos linearmente independentes $\alpha _{i}$ do espaço dual ${\mathfrak {h}}^{*}$, de tal modo que $\alpha _{i}(\alpha _{j}^{\vee })=c_{ji}$. Os $\alpha _{i}$ são analógicos para as raízes simples de uma semi-simples álgebra de Lie, e os $\alpha _{i}^{\vee }$ para as co-raízes simples.

A álgebra de Kac-Moody é a álgebra de Lie ${\mathfrak {g}}$ definida por geradores $e_{i}$ e $f_{i}$ ($i\in \{1,\ldots ,n\}$) e os elementos de ${\mathfrak {h}}$e as relações.

• $[h,h']=0\$ para $h,h'\in {\mathfrak {h}}$;
• $[h,e_{i}]=\alpha _{i}(h)e_{i}$, para $h\in {\mathfrak {h}}$;
• $[h,f_{i}]=-\alpha _{i}(h)f_{i}$, para $h\in {\mathfrak {h}}$;
• $[e_{i},f_{j}]=\delta _{ij}\alpha _{i}^{\vee }$, onde $\delta _{ij}$ é o delta de Kronecker
• ${\textrm {ad}}(e_{i})^{1-c_{ij}}(e_{j})=0$ e ${\textrm {ad}}(f_{i})^{1-c_{ij}}(f_{j})=0$, onde ${\textrm {ad}}:{\mathfrak {g}}\to {\textrm {End}}({\mathfrak {g}}),{\textrm {ad}}(x)(y)=[x,y],$ é a representação adjunta de ${\mathfrak {g}}$.

A álgebra de Lie real (possivelmente de dimensão infinita) é também considerada uma álgebra de Kac-Moody, se a sua complexificação é uma álgebra de Kac-Moody .