Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Średnią potęgową rzędu k (lub średnią uogólnioną )
n
{\displaystyle n}
liczb
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
∈
R
⩾
0
{\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R} _{\geqslant 0}}
nazywamy liczbę[1] :
μ
k
:=
a
1
k
+
a
2
k
+
…
+
a
n
k
n
k
.
{\displaystyle \mu _{k}:={\sqrt[{k}]{\frac {a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+\ldots +a_{n}^{k}}{n}}}.}
Istnieje również wariant nazywany ważoną średnią potęgową .
Powyższą definicję uzupełniamy dla
k
=
−
∞
,
{\displaystyle k=-\infty ,}
k
=
0
{\displaystyle k=0}
oraz
k
=
+
∞
{\displaystyle k=+\infty }
w sposób następujący[1] :
μ
−
∞
:=
min
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
)
,
{\displaystyle \mu _{-\infty }:=\min(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}),}
μ
0
:=
a
1
⋅
a
2
⋅
…
⋅
a
n
n
,
{\displaystyle \mu _{0}:={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot \ldots \cdot a_{n}}},}
μ
+
∞
:=
max
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
)
.
{\displaystyle \mu _{+\infty }:=\max(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}).}
Dla przykładu, średnią potęgową rzędu 3 liczb 1, 2, 3, 4, 5 jest:
μ
3
=
1
3
+
2
3
+
3
3
+
4
3
+
5
3
5
3
=
225
5
3
=
45
3
≈
3
,
56.
{\displaystyle \mu _{3}={\sqrt[{3}]{\frac {1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}}{5}}}={\sqrt[{3}]{\frac {225}{5}}}={\sqrt[{3}]{45}}\approx 3{,}56.}
Co warte podkreślenia, dla dowolnych dodatnich
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
{\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}
tak zdefiniowana funkcja
μ
k
{\displaystyle \mu _{k}}
zmiennej
k
{\displaystyle k}
jest ciągła i niemalejąca na zbiorze
R
∪
{
−
∞
,
+
∞
}
,
{\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \},}
jeśli zaś dla jakichkolwiek
i
{\displaystyle i}
i
j
,
{\displaystyle j,}
zachodzi
a
i
≠
a
j
,
{\displaystyle a_{i}\neq a_{j},}
jest ona nawet rosnąca (wynika to wprost z nierówności między średnimi potęgowymi ).
Średnie potęgowe niektórych rzędów mają własne nazwy[1] :