Очікує на перевірку

Кардинальне число

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Кардинальне число
Формула
Підтримується Вікіпроєктом Вікіпедія:Проєкт:Математика
Є кількістю елемент
CMNS: Кардинальне число у Вікісховищі

Кардинальним числом (кардиналом) в теорії множин називається об'єкт, який характеризує потужність множини. Кардинальне число деякої множини позначається як або .

Георг Кантор давав таке визначення кардинального числа: "Потужністю даної множини А називається та загальна ідея, яка залишається у нас, коли ми, мислячи про цю множину, відволікаємося як від всіх властивостей її елементів, так і від їх порядку". Для скінченної множини A кардинальним числом |A| є натуральне число, яким позначається кількість елементів цієї множини.

Для нескінченних множин кардинальне число є узагальненням поняття числа елементів.

Хоча кардинальні числа нескінченних множин не мають відображення в натуральних числах, але їх можна порівнювати:

Нехай A і B нескінченні множини, тоді логічно можливі такі чотири випадки:

  1. Існує взаємно однозначна відповідність між A і B, тобто A ~ B і |A|=|B|.
  2. Існує взаємно однозначна відповідність між множиною A і деякою власною підмножиною B' множини B. Тоді кажуть, що потужність множини A не більша від потужності множини B і записують |A|≤|B|.
  3. Множина A рівнопотужна деякій підмножині множини B і, навпаки, множина B рівнопотужна деякій підмножині множини A, тобто A~B' B і B~A' A. За теоремою Кантора — Бернштейна, у цьому випадку виконується A ~ B, тобто |A|=|B|.
  4. Не існує взаємно однозначної відповідності між множиною A і жодною підмножиною множини B і, також, не існує взаємно однозначної відповідності між множиною B і жодною підмножиною множини A. З цієї ситуації випливало б, що потужності множин A і B непорівнювані між собою.

Однак більш глибокі дослідження в теорії множин показали, що, спираючись на аксіому вибору, можна довести неможливість четвертого випадку.

Таким чином, потужності будь-яких двох множин A і B завжди порівнювані між собою. Отже, для кардинальних чисел |A| і |B| довільних множин A і B виконується одне з трьох співвідношень: |A|=|B|, |A|≤|B| або |B|≤|A|. Якщо |A|≤|B|, однак множина A нерівнопотужна множині B, то |A|<|B|.

Операції над кардинальними числами

[ред. | ред. код]

Додавання

Нехай а та b два кардинальні числа. Їх сумою a+b називається кардинальне число множини A ∪ B, де А та В — довільні множини, що не перетинаються такі, що a=|A|, b=|B|. Очевидно, що операція додавання комутативна і асоціативна.

Множення

Добутком двох кардинальних чисел а та b називається кардинальне число множини , де a=|A|, b=|B|, А та В — довільні множини. Операція множення комутативна та асоціативна.

Піднесення до степеня

Степенем кардинального числа а з показником b називається кардинальне число множини , де a=|A|, b=|B|.

Арифметика кардинальних чисел

[ред. | ред. код]

Додавання та множення кардинальних чисел є операціями асоціативними та комутативними, тобто:

Множення дистрибутивне відносно додавання,тобто:

Мають місце рівності:


Істинні наступні твердження:

1) якщо і , то

2) якщо , то

3) якщо , то

4) якщо , то


Теорема 1.

для будь-якої множини А.


Теорема 2.(Г.Кантор)

для будь-якого кардинального числа а.

Приклади кардинальних чисел

[ред. | ред. код]
Докладніше: Числа алеф
  • 0 (нуль) та натуральні числа — ними записуються потужності скінченних множин. Наприклад, порожня множина ∅ має потужність 0, а множина  — очевидно 3.
  • (алеф-нуль) — потужність множини , тобто множини всіх натуральних чисел. Це найменше нескінченне кардинальне число. Множину з потужністю (тобто множину, рівнопотужну множині натуральних чисел) називають зліченною, прикладами зліченних множин є:
    •  — множина всіх натуральних чисел (очевидно);
    • будь-яка нескінченна підмножина з (вона нескінченна, тому її кардинальне число нескінченне, але водночас вона вкладена в , тому її потужність не перевищує );
    •  — множина всіх цілих чисел (їх можна перелічити, наприклад, отак: 0, −1, 1, −2, 2, …);
    • (множина пар натуральних чисел), а також і будь-яка множина при (елементи таких множин можна пронумерувати натуральними числами);
    •  — множина всіх раціональних чисел ().
  •  — кардинальне число множини , тобто множини всіх дійсних чисел. Можна довести, що (при цьому за теоремою Кантора з цього випливає ). Множину з потужністю (тобто множину, рівнопотужну множині дійсних чисел) називають континуумом або континуальною множиною (водночас саме число теж називають словом континуум), прикладами континуальних множин є:
    •  — множина всіх дійсних чисел (очевидно);
    • будь-який проміжок ненульової довжини з , наприклад: , чи (довільно малий інтервал можна співставити всій множині дійсних чисел певною функцією, наприклад тангенсом);
    • (множина пар дійсних чисел), й інші (при .
  • (алеф-один, алеф-два тощо) — наступні після у порядку зростання кардинальні числа. Якщо приймати континуум-гіпотезу, то ; інакше можна лише сказати, що . Кантор довів, що не існує множини найбільшої потужності, тобто не існує найбільшого кардинального числа.
  • , де  — довільний ординал. Приклади для нескінченних ординалів: , , , тощо.

Гіпотеза континуума

[ред. | ред. код]

Континуум-гіпотеза стверджує, що не існує множини, кардинальне число якої розташоване між (кардиналом множини натуральних чисел) та (кардиналом множини дійсних чисел), тобто .

Якщо приймати континуум-гіпотезу, то ; інакше можна лише сказати, що .

Див. також

[ред. | ред. код]

Джерела

[ред. | ред. код]