Неравенство Чебышёва

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Неравенство в стандартной формулировке, домноженное на Демонстрирующая анимация

Нера́венство Чебышёва (или неравенство Бьенеме — Чебышёва) — неравенство в теории меры и теории вероятностей. Оно было первый раз получено Бьенеме в 1853 году, и позже также Чебышёвым (в статье «О средних величинах» 1867 года).

Неравенство, использующееся в теории меры, является более общим, в теории вероятностей используется его следствие.

В теории меры

[править | править код]

Неравенство Чебышёва в теории меры описывает взаимосвязь интеграла Лебега и меры. Аналог этого неравенства в теории вероятностей — неравенство Маркова. Неравенство Чебышёва также используется для доказательства вложения пространства в слабое пространство .

Стандартная формулировка

[править | править код]

Пусть  — пространство с мерой. Если функция интегрируема и неотрицательна на множестве , то для любой положительной константы мера множества всех из , для которых значение не меньше , сама не больше интеграла от по , делённого на :

Обобщённая формулировка

[править | править код]

Стандартной формулировке можно сделать следующее обобщение. Пусть также интегрируема и неотрицательна на множестве , но она к тому же не убывает (не обязательно всюду, достаточно лишь неубывания на всей области значения и в точке ). Тогда мера множества всех из , для которых значение не меньше , сама не больше интеграла от композиции по , делённому на :

Для перехода к стандартной формулировке достаточно взять

Формулировка в терминах пространства Lₚ

[править | править код]

Пусть . Тогда

В теории вероятностей

[править | править код]
Неравенство Чебышёва, ограничивающее вероятность больших отклонений случайной величины от своего математического ожидания

Неравенство Чебышёва в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к своему среднему. А более точно, оно даёт оценку вероятности того, что случайная величина примет значение, далёкое от своего среднего.

Неравенство Чебышёва является следствием неравенства Маркова.

Формулировка

[править | править код]

Пусть случайная величина определена на вероятностном пространстве , а её математическое ожидание и дисперсия конечны. Тогда

, где .

Если , где  — стандартное отклонение и , то получаем

.

В частности, случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от среднего больше, чем на стандартных отклонения, с вероятностью меньше . Отклоняется от среднего на стандартных отклонения с вероятностью меньше . Иными словами, случайная величина укладывается в стандартных отклонения с вероятностью и в стандартных отклонения с вероятностью

Для важнейшего случая одномодальных[англ.] распределений неравенство Высочанского — Петунина существенно усиливает неравенство Чебышёва, включая в себя дробь . Таким образом, граница в стандартных отклонения включает значений случайной величины. В отличие от нормального распределения, где стандартных отклонения включают значений случайной величины.

Доказательство

[править | править код]

Докажем теорему в обобщённой формулировке. Обозначим за искомое множество Тогда интеграл от композиции по можно разбить на сумму двух интегралов: по и по , оба из которых неотрицательны, так что интеграл от композиции по не меньше, чем интеграл по  — один из них. В то же время на всём множестве функция не меньше по построению, поэтому на нём значение композиции не меньше в силу свойств неубывания, а потому и интеграл от композиции по больше или равен интегралу от по . Последний равен произведению меры на , ведь константа. Поделив на , получим исходное соотношение. Формализуя вышесказанное получаем доказываемое неравенство:

Литература

[править | править код]
  • Колмогоров, А. Н., Фомин, С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — С. 300—301.
  • Коллектив авторов. Московский математический сборник. — М., 1867. — Т. 2.