Паказчык адыябаты

Паказчык адыябаты (часам званы каэфіцыентам Пуасона) — стаўленне цеплаёмістасці пры сталым ціску ($C_{P}$) да цеплаёмістасці пры пастаянным аб’ёме ($C_{V}$). Часам яго яшчэ называюць фактарам ізаэнтрапійнага расшырэння. Абазначаецца грэцкай літарай $\gamma$ (гама) або $\kappa$ (Каппа). Літарны знак у асноўным выкарыстоўваецца ў хімічных інжынерных дысцыплінах. У цеплатэхніка выкарыстоўваецца лацінская літара $k$.

Ураўненне:

$\gamma ={\frac {C_{P}}{C_{V}}}={\frac {c_{P}}{c_{V}}}$,

дзе

$C$ — цеплаёмістасць газа,

$c$ — удзельная цеплаёмістасць (стаўленне цеплаёмістасці да адзінкі масы) газу,

індэксы $_{P}$ і $_{V}$ абазначаюць умову сталасці ціску ці сталасці аб’ёму, адпаведна.

Для разумення гэтых суадносін можна разгледзець наступны эксперымент:

Закрыты цыліндр з замацаваным нерухомым поршнем ўтрымлівае паветра. Ціск усярэдзіне роўны ціску звонку. Гэты цыліндр награваецца да вызначанай, патрабаванай тэмпературы. Да таго часу, пакуль поршань замацаваны ў нерухомым стане, аб’ём паветра ў цыліндры застаецца нязменным, у той час як тэмпература і ціск ўзрастаюць. Калі патрабаваная тэмпература будзе дасягнута, награванне спыняецца. У гэты момант поршань «вызваляецца» і, дзякуючы гэтаму, пачынае перамяшчацца пад ціскам паветра ў цыліндры без цеплаабмену з навакольным асяроддзем (паветра пашыраецца адыябатычна). Здзяйсняючы працу, паветра ўнутры цыліндру астуджаецца ніжэй дасягнутай раней тэмпературы. Каб вярнуць паветра да стану, калі яго тэмпература зноў дасягне згаданага вышэй патрабаванага значэння (пры ўсё яшчэ «вызваленым» поршні), паветра неабходна нагрэць. Для гэтага награвання звонку неабходна падвесці прыкладна на 40 % (для двухатамнага газу — паветра) большую колькасць цеплыні, чым было падведзена пры папярэднім награванні (з замацаваным поршнем). У гэтым прыкладзе колькасць цеплыні, падведзеныя да цыліндра з замацаваным поршні, прапарцыйна $C_{V}$, тады як агульная колькасць падведзенай цеплыні прапарцыйна $C_{P}$. Такім чынам, паказчык адыябаты ў гэтым прыкладзе роўны 1.4.

Іншы шлях для разумення розніцы паміж $C_{P}$ і $C_{V}$ складаецца ў тым, што $C_{P}$ ўжываецца тады, калі праца здзяйсняецца над сістэмай, якую прымушаюць да змены свайго аб’ёму (гэта значыць шляхам руху поршня, які сціскае змесціва цыліндру), або калі праца здзяйсняецца сістэмай з змяненнем яе тэмпературы (гэта значыць награваннем газу ў цыліндры, што змушае поршань рухацца). $C_{V}$ ўжываецца толькі калі$PdV$ — а гэта выраз пазначае дасканалую газам працу — роўны нулю. Разгледзім розніцу паміж падвядзеннем цяпла пры замацаваным поршні і падвядзеннем цяпла пры вызваленым поршні. У другім выпадку ціск газу ў цыліндры застаецца сталым, і газ будзе як пашырацца, здзяйсняючы працу над атмасферай, так і павялічваць сваю ўнутраную энергію (з павелічэннем тэмпературы); цеплыня, якая падводзіцца звонку, толькі часткова ідзе на змяненне ўнутранай энергіі газу, у той час як астатняе цяпло ідзе на здзяйсненне газам працы.

Паказчыкі адыябаты для розных газаў
Тэмп.	Газ	γ		Тэмп.	Газ	γ		Тэмп.	Газ	γ
−181 °C	H2	1.597		200 °C	Сухое паветра	1.398		20 °C	NO	1.400
−76 °C		1.453		400 °C		1.393		20 °C	N2O	1.310
20 °C		1.410		1000 °C		1.365		−181 °C	N2	1.470
100 °C		1.404		2000 °C		1.088		15 °C		1.404
400 °C		1.387		0°C	CO2	1.310		20 °C	Cl2	1.340
1000 °C		1.358		20 °C		1.300		−115 °C	CH4	1.410
2000 °C		1.318		100 °C		1.281		−74 °C		1.350
20 °C	He	1.660		400 °C		1.235		20 °C		1.320
20 °C	H2O	1.330		1000 °C		1.195		15 °C	NH3	1.310
100 °C		1.324		20 °C	CO	1.400		19 °C	Ne	1.640
200 °C		1.310		−181 °C	O2	1.450		19 °C	Xe	1.660
−180 °C	Ar	1.760		−76 °C		1.415		19 °C	Kr	1.680
20 °C		1.670		20 °C		1.400		15 °C	SO2	1.290
0°C	Сухое паветра	1.403		100 °C		1.399		360 °C	Hg	1.670
20 °C		1.400		200 °C		1.397		15 °C	C2H6	1.220
100 °C		1.401		400 °C		1.394		16 °C	C3H8	1.130

Суадносіны для ідэальнага газу

Для ідэальнага газу цеплаёмістасць не залежыць ад тэмпературы. Адпаведна, можна выказаць энтальпію як $H=C_{P}\cdot T$ і унутраная энергія можа быць прадстаўлена як $U=C_{V}T$. Такім чынам, можна таксама сказаць, што паказчык адыябаты — гэта стаўленне энтальпіі да унутранай энергіі:

$\gamma ={\frac {H}{U}}$

З іншага боку, цеплаёмістасці могуць быць выяўленыя таксама праз паказчык адыябаты ($\gamma$) і універсальную газавую пастаянную ($R$):

$C_{P}={\frac {\gamma R}{\gamma -1}}\qquad {\text{и}}\qquad C_{V}={\frac {R}{\gamma -1}}$

Можа апынуцца дастаткова цяжкім знайсці інфармацыю аб таблічных значэннях $C_{V}$, у той час як таблічныя значэнні $C_{P}$ прыводзяцца часцей. У гэтым выпадку можна выкарыстоўваць наступную формулу для вызначэння $C_{V}$:

$C_{V}=C_{P}-\nu R$

дзе $\nu$ — колькасць рэчыва у молях.

Суадносіны з выкарыстаннем колькасці ступеняў свабоды

Паказчык адыябаты ($\gamma$) для ідэальнага газу можа быць выяўлены праз колькасць ступеняў свабоды ($i$) малекул газу:

$\gamma ={\frac {i+2}{i}}\qquad$ или $\qquad i={\frac {2}{\gamma -1}}$

Такім чынам, для аднаатамнага ідэальнага газу (тры ступені свабоды) паказчык адыябаты роўны:

$\gamma \ ={\frac {5}{3}}\approx 1.67$,

у той час як для двухатамнага ідэальнага газу (пяць ступеняў свабоды) (пры пакаёвай тэмпературы):

$\gamma ={\frac {7}{5}}=1.4$.

Паветра на зямлі ўяўляе сабой у асноўным сумесь двухатамны газаў (каля 78 % азоту — N₂, і каля 21 % кіслароду — O₂), і пры нармальных умовах яго можна разглядаць як ідэальны. Двухатамны газ мае пяць ступеняў свабоды (тры паступальных і дзве круцільных ступені свабоды; вагальная ступень свабоды не задзейнічана, за выключэннем высокіх тэмператур). Як следства, тэарэтычна, паказчык адыябаты для паветра мае велічыню:

$\gamma ={\frac {5+2}{5}}={\frac {7}{5}}=1.4$.

Гэта добра ўзгадняецца з эксперыментальнымі вымярэннямі паказчыка адыябаты паветра, якія прыблізна даюць значэнне 1.403 (прыведзенае вышэй у табліцы).

Суадносіны для рэальных газаў

Па меры таго, як тэмпература ўзрастае, больш высокаэнергетычныя круцільныя і вагальныя стану становяцца дасягальным для малекулярных газаў, і такім чынам, колькасць ступеняў волі ўзрастае, і памяншаецца паказчык адыябаты $\gamma$.

Для рэальных газаў, як $C_{P}$, так і $C_{V}$ ўзрастаюць з павелічэннем тэмпературы, пры гэтым рознасць паміж імі застаецца нязменнай (згодна з прыведзенай вышэй формуле $C_{P}$ = $C_{V}+R$), і гэтая рознасць адлюстроўвае сталасць велічыні $P\cdot V$, г. зн. працы, якая здзяйсняецца пры пашырэнні. Велічыня $P\cdot V$ ўяўляе сабой розніцу паміж колькасцямі падведзенай цеплыні пры пастаянным ціску і пры пастаянным аб’ёме. Такім чынам, стаўленне двух велічынь, $\gamma$, узрастае пры павелічэнні тэмпературы. Глядзі таксама удзельная цеплаёмістасць.

Тэрмадынамічныя выразы

Значэнні, атрыманыя з дапамогай набліжаных суадносін (у прыватнасці, $C_{p}-C_{v}=R$), у многіх выпадках з’яўляюцца недастаткова дакладнымі для практычных інжынерных разлікаў, такіх, як разлікі выдаткаў праз трубаправоды і клапаны. Пераважна выкарыстоўваць эксперыментальныя значэнні, чым тыя, якія атрыманы з дапамогай набліжаных формул. Строгія значэнні суадносін ${\frac {C_{p}}{C_{v}}}$ можа быць вылічана шляхам вызначэння $C_{v}$ з уласцівасцяў, выяўленых як:

$C_{p}-C_{v}\ =\ -T{\frac {\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}^{2}}{\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{T}}}\ =\ -T{\frac {{\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)}^{2}}{\frac {\partial P}{\partial V}}}$

Значэнні $C_{p}$ не складае працы вымераць, у той час як значэнні для $C_{v}$ неабходна вызначаць з формул, падобных гэтай. Гл. тут для атрымання больш падрабязнай інфармацыі аб суадносінах паміж цеплаёмістасць.

Вышэйпрыведзеныя суадносіны адлюстроўваюць падыход, заснаваны на развіцці мер ўраўненняў стану (такіх, як ўраўненне Пенга — Робінсана), якія настолькі добра стасуюцца з эксперыментам, што для іх прымянення патрабуецца толькі нязначна развіваць базу дадзеных суадносін або значэнняў $C_{v}$. Значэнні могуць быць таксама вызначаны з дапамогай метаду канчатковых рознасцяў.

Адыябатычны працэс

Для ізаэнтрапійнага, квазістатычнага, абаротнага адыябатычнага працэсу, які адбываецца у простым ідэальным газе, які сціскаецца:

$pV^{\gamma }={\text{constant}}$

дзе $p$ — гэта ціск і $V$ — аб’ём газу.

Эксперыментальнае вызначэнне велічыні паказчыка адыябаты

Паколькі працэсы, якія адбываюцца ў невялікіх аб’ёмах газу пры праходжанні гукавой хвалі, блізкія да адыябатычных, паказчык адыябаты можна вызначыць, вымераўшы хуткасць гуку ў газе. У гэтым выпадку паказчык адыябаты і хуткасць гуку ў газе будуць звязаныя наступным выразам:

$c={\sqrt {\frac {\gamma kT}{m}}}={\sqrt {\frac {\gamma RT}{M}}}$

дзе $\gamma$ — паказчык адыябаты, $k$ — пастаянная Больцмана, $R$ — універсальная газавая пастаянная,$T$ — тэмпература у кельвінах, $m$ — малекулярная маса, $M$ — малярная маса.

Іншым спосабам эксперыментальнага вызначэння велічыні паказчыка адыябаты з’яўляецца метад Клемана — Дэзорма, які часта выкарыстоўваецца ў навучальных мэтах пры выкананні лабараторных работ. Метад заснаваны на вывучэнні параметраў некаторай масы газу, якая пераходзіць з аднаго стану ў іншы двума паслядоўнымі працэсамі: адыябатным і ізахорным.

Лабараторная ўстаноўка ўключае шкляны балон, злучаны з манометрам, кранам і гумовай грушай. Груша служыць для нагнятання паветра ў балон. Спецыяльны заціск прадухіляе уцечку паветра з балона. Манометр вымярае рознасць ціскаў ўнутры і па-за балона. Кран можа выпускаць паветра з балона ў атмасферу.

Няхай першапачаткова ў балоне былі атмасферны ціск і тэмпературу. Працэс выканання работы можна ўмоўна разбіць на два этапы, кожны з якіх уключае ў сябе адыябатычны і ізахорны працэс.

1-ы этап:
Пры закрытым кране напампоўваюцца ў балон невялікая колькасць паветра і заціскаем шланг заціскам. Пры гэтым ціск і тэмпература ў балоне павысяцца. Гэта адыябатычны працэс. З часам ціск у балоне пачне змяншацца з прычыны таго, што газ у балоне пачне астуджацца за кошт цеплаабмену праз сценкі балона. Пры гэтым ціск будзе змяншацца пры сталым аб’ёме. Гэта ізахорны працэс. Вычакаўшы, калі тэмпература паветра ўнутры балона зраўняецца з тэмпературай навакольнага паветра, запішам паказанні манометра $h_{1}$.

2-і этап:
Цяпер адкрыем кран 3 на 1-2 секунды. Паветра ў балоне будзе адыябатычна пашырацца да атмасфернага ціску. Пры гэтым тэмпература ў балоне панізіцца. Затым кран зачынім. З часам ціск у балоне пачне павялічвацца з прычыны таго, што газ у балоне пачне награвацца за кошт цеплаабмену праз сценкі балона. Пры гэтым зноў будзе павялічвацца ціск пры пастаянным аб’ёме. Гэта ізахорны працэс. Вычакаўшы, калі тэмпература паветра ўнутры балона параўнаецца з тэмпературай навакольнага паветра, запішам паказанне манометра $h_{2}$. Для кожнага падэтапу 2-х этапаў можна напісаць адпаведныя ўраўненні адыябаты і ізахоры. Атрымаецца сістэма ўраўненняў, якія ўключаюць у сябе паказчык адыябаты. Іх набліжанае рашэнне прыводзіць да наступнай разліковай формулы для шуканай велічыні:

$\gamma ={h_{1} \over {h_{1}-h_{2}}}$

Недахопам дадзенага метаду з’яўляецца тое, што працэсы хуткага пашырэння газу ў ходзе лабараторнай працы не з’яўляюцца чыста адыябатычнымі з прычыны цеплаабмену праз сценку сасудаў, а разгляданы газ загадзя не з’яўляецца ідэальным. І хоць атрыманая ў ходзе лабараторнай працы велічыня будзе загадзя ўтрымліваць метадычную хібнасць, усё ж існуюць розныя спосабы яе ліквідацыі, напрыклад, за кошт уліку часу пашырэння і колькасці падведзеныя за гэты час цяпла.

Гл. таксама

• Цеплаёмістасць
• Удзельная цеплаёмістасць
• Хуткасць гуку
• Тэрмадынамічныя ўраўненні
• Тэрмадынаміка

Літаратура

• Савельев И. В. Курс общей физики: Молекулярная физика и термодинамика (руск.). — М.: Астрель, 2001. — Т. 3. — 208 с. — 7 000 экз. — ISBN 5-17-004585-9.