Тангенсна теорема

У тригонометрији, тангентна теорема представља однос два угла троугла и дужине наспрамне странице.

На слици a, b и c су дужине страница троугла, а α, β и γ су углови наспрам те три странице. Тангентна теорема гласи:

{\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.

Иако тангентна теорема није уобичајено позната као синусна или косинусна теорема, она је еквивалентна синусној теореми и може се користити ако су познате дужине две странице и угао измедју њих, као и ако су позната два угла и дужина једне странице. Тангентну теорему код сферних троуглова је описао, у тринаестом веку, персијски математичар Насир ал-Дин ал-Туси (1201-1274), који је такође дефинисао и синусну теорему троугла.

Доказ

Доказ да се тангентна теорема може извести из синусне теореме:

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}.

Нека је:

d={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }},

Тако да је:

a=d\sin \alpha {\text{ and }}b=d\sin \beta .\,

Следи:

{\frac {a-b}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}.

Koristeći trigonometrijsku funkciju za transformaciju zbira i razlike u proizvod:

\sin(\alpha )\pm \sin(\beta )=2\sin \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha \mp \beta }{2}}\right),\;

Следи:

{\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.\qquad

Као алтернатива коришћењу функције збира или разлике два синуса, такође се може користити ова тригонометријска функција:

\tan \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}

Примена

Помоћу тангентне теореме се може израчунати непозната дужина странице троугла и углови троугла код ког су две странице a и b и угао између њих познати. Из

\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]={\frac {a-b}{a+b}}\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]={\frac {a-b}{a+b}}\cot[{\frac {\gamma }{2}}]

Преостала страница c се може израчунати из синусне теореме. Пре електронских калкулатора, овај начин израчунавања се користио чешће него косинусна теорема, пошто је овај други начин захтевао додатно проверавање у логаритамским таблицама, због рачунања квадратног корена.

Тангенсна теорема полу-углова

Тангенсна теорема говори о тангенсима полу-углова изражених помоћу страна троугла и полупречника уписаног круга у дати троугао.

Теорема 1: Тангенс полу-угла троугла једнак је количнику полупречника уписаног круга и разлике полуобима и супротне стране, тј.; $\operatorname {tg} {\frac {A}{2}}={\frac {r}{p-a}},\;\operatorname {tg} {\frac {B}{2}}={\frac {r}{p-b}},\;\operatorname {tg} {\frac {C}{2}}={\frac {r}{p-c}},$

где су A, B, C углови троугла ABC, r полупречник уписане кружнице, $p={\frac {a+b+c}{2}}$ полуобим, при чему су странице $a=y+z,\;b=x+z,\;c=x+y,$ насупрот теменима ABC, на слици десно.

Доказ: Повуцимо симетрале унутрашњих углова троугла ABC. Из центра уписаног круга О датог троугла спустимо нормале OD, OE, OF на странице троугла, редом CA = b, AB = c, BC = a. Свака од тих нормала има дужину једнаку полупречнику r уписаног круга. За тако добијене троуглове важе релације подударности $\Delta AOD\cong \Delta AOE,\;\Delta BOE\cong \Delta BOF,\;\Delta COF\cong \Delta COD.$ Добијамо:

\operatorname {tg} {\frac {A}{2}}={\frac {r}{AE}},\;\operatorname {tg} {\frac {B}{2}}={\frac {r}{BF}},\;\operatorname {tg} {\frac {C}{2}}={\frac {r}{DC}}.

Сада изразимо AE, BF, DC помоћу страница троугла. Прво имамо

a=y+z,\;b=z+x,\;c=x+y,

где су

x=AE=AD,\;y=BF=BE,\;z=CD=CF

делови страница до додирних тачака уписане кружнице. Сабирањем ових једначина добијамо

\ a+b+c=2(x+y+z),

или

x+y+z={\frac {1}{2}}(a+b+c)=p.

Одузимањем сваке од претходних са последњом једначином следи

p-a=x=AE,\;p-b=y=BF,\;p-c=z=DC,

и сменом у полазне једначине добијамо изразе које је требало доказати. Крај доказа.

Заменом полупречника уписане кружнице одговарајућим изразима са страницама датог троугла, добићемо згодније формуле ове исте теореме.

Теорема 2: За троугао ABC важе једнакости:; $\operatorname {tg} {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}},\;\operatorname {tg} {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-c)}{p(p-b)}}},\;\operatorname {tg} {\frac {C}{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)}{p(p-c)}}},$; где су a, b, c странице троугла ABC насупрот истоименим теменима, a p је полуобим.
Доказ: Полазећи од претходне теореме (1) и Хероновог образца за површину троугла $P_{\Delta }={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},$ и од израза $\ P_{\Delta }=rp,$ добијамо $r={\frac {\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}.$ Затим следе тражене једнакости. Крај доказа.

Види још