Тетивни четвороугао

Тетивни четвороугао је сваки четвороугао за кога важи да се око њега може описати кружница. Другим речима, четвороугао је тетивни ако су му сва темена тачке неког круга^[1]. Назив тетиван потиче од особине да свака страница таквог четвороугла јесте тетива у том кругу.

Четвороуглови који су тетивни су: квадрат, правоугаоник и једнакокраки трапез. Делтоид је тетивни ако има два права угла.

Четвороуглови за које сигурно знамо да се око њих не могу описати кругови (нису тетивни) су паралелограм и ромб.

Основна особина тетивног четвороугла:

Четвороугао је тетиван ако и само ако се симетрале његових страница секу у једној тачки.^[2]

Такође значајна особина:

Четвороугао је тетиван ако и само ако је збир свака два наспрамна угла једнак 180° (наспрамни углови су суплементни).

Сл. 2 Односи међу угловима у тетивном четвороуглу

\,\alpha +\gamma =180^{\circ }

\,\beta +\delta =180^{\circ }

што се види са слике на којој је приказан централни и периферни угао над дијагоналама. (Сл. 2) Из овога следи да је сваки четвороугао који има два наспрамна права угла тетиван.

Четвороугао у који се истовремено може уписати и описати круг се зове тетивно-тангентни четвороугао или бицентрични четвороугао.

Неке особине тетивног четвороугла

Површина тетивног четвороугла са страницама $a,\,b,\,c,\,d$ се може изразити помоћу полуобима $s\,$ , где је

s={\frac {a+b+c+d}{2}}

формулом која се зове Брамагуптина формула:

P={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}

или формулом у којој се појављују странице четвороугла и полупречник описаног круга $R\,$

P={\frac {1}{4R}}{\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}

.

Уколико су дијагонале овог четвороугла $e\,$ и $\,f$ (Сл. 1), тада се површина може изразити формулама

P={\frac {e\cdot (ab+cd)}{4R}}={\frac {f\cdot (ad+bc)}{4R}}

,

где се дијагонале рачунају помоћу формула

e={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}

и

f={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}}}

.

Дијагонале тетивног четвороугла се секу у тачки $P\,$ (Сл. 1), а однос између делова дијагонале се изражава формулом ${\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}={\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}$ .

Птолемејева теорема: Ако су $a,\,b,\,c,\,d$ странице, а $e\,$ и $\,f$ дијагонале тетивног четвороугла, тада је

ef=ac+bd\,

.

Види још

Референце

^ Владимир Стојановић, Тетиве и тангенте, Математископ. . Београд. 2004. ISBN 978-86-7076-023-3.
^ Војислав Петровић, Тетивни и тангентни четвороуглови, Друштво математичара Србије. . Београд. 2005. ISBN 978-86-81453-54-4.

Спољашње везе

[1] Владимир Стојановић, Тетиве и тангенте, Математископ. . Београд. 2004. ISBN 978-86-7076-023-3.

[2] Војислав Петровић, Тетивни и тангентни четвороуглови, Друштво математичара Србије. . Београд. 2005. ISBN 978-86-81453-54-4.

[1]

[2]