איבר האפס

איבר האפס הוא מונח אלגברי לציון איבר במבנה אלגברי שהוא איבר היחידה ביחס לפעולת החיבור המוגדרת במבנה. כלומר איבר המסומן 0 ומקיים a+0 = 0+a = a לכל איבר a במבנה.

דוגמאות:

• במספרים הטבעיים, בחוג המספרים השלמים, בשדה המספרים הרציונליים, בשדה המספרים הממשיים ובשדה המספרים המרוכבים, המספר 0 הוא איבר האפס, כמתבקש משמו.
• בחוג הקווטרניונים, המספר 0 הוא איבר האפס.
• בשדה הפונקציות הממשיות, הפונקציה $\ f(x)\equiv 0$ היא איבר האפס.
• בחוג המטריצות הריבועיות מגודל נתון, מטריצת האפס היא איבר האפס.
• בחוג של קבוצות עם הפרש סימטרי כפעולת החיבור, הקבוצה הריקה היא איבר האפס.

תכונות

בחוג כללי יש תמיד איבר אפס אחד בדיוק (מה שמצדיק את השם "איבר האפס"). הוכחה: נניח ש-$0_{r}$ ו-$0_{s}$ הם שני איברי אפס בחוג. אז לפי הגדרת איבר אפס: $0_{r}=0_{s}+0_{r}=0_{s}$.

תכונה נוספת של איבר האפס בחוג היא תכונת הבליעה ביחס לכפל: לכל a בחוג $a\cdot 0=0\cdot a=0$. הוכחה: $a\cdot 0=a\cdot (0+0)=a\cdot 0+a\cdot 0$. אם נצמצם את שני האגפים ב-$a\cdot 0$ נקבל: $0=a\cdot 0$. ההוכחה לכפל משמאל אנלוגית.

חוג עם איבר אחד הוא החוג הטריוויאלי שהאיבר היחיד בו הוא איבר האפס המהווה גם את איבר היחידה ביחס לכפל. לעומת זאת בחוג עם שני איברים לפחות מתקיים תמיד ש-$0\neq 1$ (כש-1 הוא איבר היחידה הכפלי). הוכחה: יהי a איבר בחוג שאינו איבר האפס (קיים מכיוון שקיים רק איבר אפס אחד). אז $a\cdot 1=a\neq 0=a\cdot 0$ ולכן $0\neq 1$.

מן הטענה האחרונה ומתכונת הבליעה ניתן להסיק שבחוג עם שני איברים לפחות איבר האפס תמיד אינו איבר הפיך, כלומר לא ניתן לחלק באפס.

קישורים חיצוניים

• איבר האפס, באתר MathWorld (באנגלית)