دالة أسية

  ميّز عن رفع (رياضيات).

دالة أسية
تمثيل الدوال الأسية في جملة الإحداثيات الديكارتيّة، فاللون الأسود ذو الأساس (e)، واللون الأحمر ذو الأساس 10، واللون الأزرق ذو الأساس 1/2، نلاحظ أن جميع المنحنيات قطعت النقطة (0، 1). تمثيل الدوال الأسية في جملة الإحداثيات الديكارتيّة، فاللون الأسود ذو الأساس (e)، واللون الأحمر ذو الأساس 10، واللون الأزرق ذو الأساس 1/2، نلاحظ أن جميع المنحنيات قطعت النقطة (0، 1).
تدوين	$a^{x}$ أو $\exp _{a}(x)$
دالة عكسية	$\log _{a}(x)$
مشتق الدالة	$\ln(a)a^{x}$
مشتق عكسي (تكامل)	${\frac {a^{x}}{\ln(a)}}+C$
الميزات الأساسية
مجال الدالة	$\mathbb {R}$
المجال المقابل	$\mathbb {R} _{+}^{*}$
قيم محددة
القيمة/النهاية عند الصفر	1
نهاية الدالة عند +∞	$+\infty$ إذا كان $a>1$ $0$ إذا كان $a<1$
نهاية الدالة عند -∞	$0$ إذا كان $a>1$ $+\infty$ إذا كان $a<1$
القيمة/النهاية عند 1	$a$
خطوط مقاربة	$y=0$

الدالة الأسية (بالإنجليزية: Exponential Function)‏ هي كل دالة تُكتب على الشكل $f(x)=a^{x}$ حيث $x\in \mathbb {R}$ و $a$ عدد حقيقي موجب لا يساوي 1، إذا كان $0<a<1$ فإن الدالة $a^{x}$ تكون تناقصية وتسمى دالة تضاؤل أسي، أما إذا كان $a>1$ فإن الدالة تكون تزايدية وتسمى دالة نمو أسي.

دوال أسية أخرى

$f(x)=a^{x}+b^{2}x$ أو: $f(x)=a^{x}+5.M^{x}-3$ أو: $f(x)=a^{x}+e^{x}$

مثال آخر للدالة الأسية:

y = ل مرفوعة للقوة x ، وتكتب رياضيا كالآتي:

y = ل^x

حيث ل> صفر.

أي أن الدالة الأسية بصفة عامة:

X = yⁿ

تستخدم في الحاسوب معادلة أسية خاصة اسمها (exp(n. وهي تعادل حالة خاصة للمعادلة الأسية التي هي أصلا $e^{n}$ حيث e هو الثابت الطبيعي المسمى عدد أويلر. ذلك لأن الحالة الخاصة $e^{n}$ لها استخدامات واسعة في الفيزياء والكيمياء والهندسة الكهربائية والهندسة الميكانيكية والإحصاء وغيرها من العلوم. بعض الدول العربية تستخدم «هـ» بدلا عن e.

خواص الأسس

مشتق الدالة الأسية $e^{n}$ مساو لقيمة الدالة. لكل نقطة من المنحنى (الأزرق)، إذا رسم الخط المماس (الأحمر) والخط العمودي (الأخضر) كما هو مبين، فستكون للمثلث الذي يحددانه مع المحور الأفقي قاعدة طولها 1 (الأخضر). فيكون انحدار الخط المماس (المشتق) في النقطة مساويا لارتفاع المثلث (قيمة الدالة).

التعريف الجبري للدالة الأسية هو أنها تحول المجموع إلى جداء.

من خواص الدالة الأسية:

a⁰ = 1

a¹ = a

الدالة العكسية للدالة الأسية هي اللوغاريتم (log) ذو الأساس a حيث تحول $a^{x}$ إلى x وهي تحول الجداء إلى مجموع:

$\log(a^{x})=x\log(a)$

حيث x عدد حقيقي. الرمز log في هذه المقالة ينطبق على اللوغاريتم للأساس 10.

يمكن تحويل الدالة الأسية $a^{x}$ إلى أي أساس آخر $b$ :

$a^{x}=b^{x\cdot \log _{b}(a)}$

وتنطبق القوانين التالية عليها:

$a^{0}=1\,$...و... $a^{1}=a\,$

$a^{x+y}=a^{x}\cdot a^{y}$

$a^{x\cdot y}=(a^{x})^{y}$

$a^{-x}={\frac {1}{a^{x}}}=\left({\frac {1}{a}}\right)^{x}$

$a^{x}\cdot \ b^{x}=(a\cdot \ b)^{x}$

وتنطبق تلك القوانين على كل الأساسيات الحقيقية الموجبة $a\,$ و$b\,$ وعلى جميع الأساسيات الحقيقية والمركبة $x$.

من أهم الدوال الأسية المستعملة في العلوم مثل كالفيزياء النووية والفيزياء الذرية والكهرباء والهندسة الكهربائية هي الدالة ذات الأساس e أي $e^{x}$ واللوغاريتم المنتسب إليها يرمز له بالرمز ln ، ويسمى «اللوغاريتم الطبيعي».

الدالة الأسية للأساس e هي الدالة الوحيدة التي تحقق الشرطين:

$f'=f$

$f(0)=1$

أي أنها حل للمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى.

الدالة الأسية للثابت الطبيعي e

الدالة الأسية الطبيعية
الدالة الأسية الطبيعية تكاد تكون أفقية عند القيم السلبية للأس عندما يكون الأساس أكبر قطعا من الواحد، ثم تتزايد بسرعة في القيم الإيجابية، وتساوي 1 عندما تساوي قيمة x الصفر. الدالة الأسية الطبيعية تكاد تكون أفقية عند القيم السلبية للأس عندما يكون الأساس أكبر قطعا من الواحد، ثم تتزايد بسرعة في القيم الإيجابية، وتساوي 1 عندما تساوي قيمة x الصفر.
تدوين	$e^{x}$ أو $\exp(x)$
دالة عكسية	$\ln(x)$
مشتق الدالة	$e^{x}$
مشتق عكسي (تكامل)	$e^{x}+C$
الميزات الأساسية
مجال الدالة	$\mathbb {R}$
المجال المقابل	$\mathbb {R} _{+}^{*}$
قيم محددة
القيمة/النهاية عند الصفر	1
نهاية الدالة عند +∞	$+\infty$
نهاية الدالة عند -∞	$0$
القيمة/النهاية عند 1	e
خطوط مقاربة	$y=0$

هناك الحالة الخاصة عندما يكون الأساس هو الثابت الطبيعي e (تستخدم بعض البلاد العربية الثابت الطبيعي «هـ» بدلا عن المعترف به عالميا e).

وتكتب باللغة الإنجليزية:

(x = exp(n

حيث n هو الأُس للأساس الثابت الطبيعي الثابت «ه» والذي يساوي 2.718281828

وتوجد في الآلات الحاسبة لكثرة استعمالها.

أو بالتفصيل:

x = eⁿ

من خصائص الدالة الأسية للأساس الطبيعي e الخصائص التالية:

$\exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)$

$a^{x}:=\exp(x\cdot \ln a)$

$a^{x}:=e^{x\cdot \ln a}$

وذلك لجميع $a>0$ وجميع $x$ الحقيقية والمركبة.(ln a هو اللوغاريتم الطبيعي للأساس الطبيعي e وليس اللوغاريتم للأساس 10)

تزايد جهد المكثف مع الزمن يتبع دالة أسية للأساس e.

للدالة الأسية للأساس الطبيعي e أهمية كبرى في الفيزياء (مثل: تناقص الضغط الجوي بالارتفاع عن سطح الأرض [أنظر أسفله]) ، وفي الكيمياء (مثل: اعتماد سرعة التفاعل على درجة الحرارة)

وفي الفيزياء بالنسبة إلى الدارة الإلكترونية حيث تتزايد مثلا شحنة مكثف طبقا للدالة الأسية مع الزمن x = eⁿ حيث n = t.c حتى تكتمل سعة المكثف. وإذا عملنا على تفريغ المكثف من شحنته يتبع معدل تفريغ الشحنة مع الزمن نفس الدالة الأسية الطبيعية مع جعل الأس بالسالب، أي x = e^-t.c.

• ويكون الأس n دائما عددا لا بعديا ، لكنه يتكون عادة من جزئين، ففي حالة المكثف الكهربائي على سبيل المثال يكون n = t.c حيث t الزمن ثانية و c خاصية للمكثف وحدتها [1/ثانية] ، وينتج عن حاصل ضربهما عددا لا بعديا.
• يعطينا الشكل المجاور الشكل المميز للدالة الأسية للأساس e. وطبقا لها تتغير الشحنة الكهربائية الواردة على المكثف مع الزمن حتى يمتلئ تماما.

تعريفات أساسية للدالة الأسية للأساس e

يمكن تعريف الدالة الأسية للأساس e بعدة طرق متكافئة، على وجه التخصيص يمكن تعريفها بإستعمال متسلسلة قوى:

$\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\dfrac {x^{2}}{2!}}+{\dfrac {x^{3}}{3!}}+{\dfrac {x^{4}}{4!}}+\cdots$

أقل شيوعا يمكن تعريف e^x كحل للمعادلة التالية:

$\displaystyle x=\int _{1}^{y}{\dfrac {\mathrm {d} t}{t}}.$

هي أيضا تساوي النهاية التالية:

$\displaystyle e^{x}=\lim \limits _{n\to \infty }\left(1+{\dfrac {x}{n}}\right)^{n}.$

مشتقة الدالة الأسية للأساس e

تتميز الدالة الأسية للأساس e بكونها مساوية لمشتقتها التفاضلية:

${\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}\exp(x)=\exp(x)$

وعندما نختار لها الشرط:

$\exp(0)=1\;$

تصبح الدالة الأسية للثابت الطبيعي e هي الوحيدة التي تفي بذلك الشرطين. بذلك يمكن تعريف الدالة الأسية الطبيعية بأنها حل تلك المعادلة التفاضلية. عندما تكون $a>0$ ينتج:

$a^{x}=\exp(x\cdot \ln a)$

حيث ln a هو اللوغاريتم للأساس الطبيعي e وتنطبق المعادلة:

${\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}a^{b\cdot x}=b\ln a\cdot a^{b\cdot x}$

وفي هذه المعادلة لا يلزم استبدال اللوغاريتم الطبيعي بأي لوغاريتم لأساس آخر، حيث يأتي العدد e في حساب التفاضل بطريقة «طبيعية» من نفسه.

المعادلة التفاضلية من النوع ${\frac {dy}{dx}}=ay+b$ حيث a و b عددان حقيقيان

دالة أسية للأساس e: ثلاثة منحنيات للتحلل الإشعاعي لثلاثة مواد لها عمر النصف مختلف.

إن حل هذه المعادلة التفاضلية عبارة عن دالة أسية بحيث $y(x)=\lambda e^{ax}-{\frac {b}{a}}$ حيث $\lambda$ ثابتة حقيقية تحدد بالاعتماد على الشروط البدئية

مثال:

قانون التحلل الإشعاعي لنواة الذرة:

$N(t)=N_{0}\,e^{-{\lambda }t}\,\!$

وتعطينا تلك المعادلة الأسية عدد الأنوية (N(t التي لم تتحلل بعد مرور الزمن t من مجموع أنوية الذرات N_0 الكلي عند البداية (عند t = 0).

وتعتمد:${\lambda }\!$ على نوع الذرات الموجودة في العينة، وهي خاصية من خصائص العنصر المشع، وتختلف لليورانيوم عن البلوتونيوم وعن البوتاسيوم-40 مثلا. ووحدتها 1/ثانية.

المجاميع أسية

ليكن $a$ عنصرا من مجموعة الأعداد الحقيقية حيث $a>1$

المجموع الأول

$\sum _{i=0}^{n-1}{a^{i}}=a^{0}+a^{1}+a^{2}+\dots +a^{n-1}={\frac {a^{n}-1}{a-1}}$

نهاية هذا المجموع:$\lim _{n\rightarrow \infty }{\sum _{i=1}^{n}}{a^{i}}=+\infty$

المجموع الثاني

$\sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{a^{i}}}={\frac {1-a^{n+1}}{a^{n}-a^{n+1}}}={\frac {a^{-n}-a}{1-a}}$

نهاية هذا المجموع:$\lim _{n\rightarrow \infty }{\sum _{i=0}^{n}}{\frac {1}{a^{i}}}=\sum _{i=0}^{\infty }{a^{-i}}={\frac {a}{a-1}}$

أمثلة

مثال للدالة الأسية بصفة عامة

تزايد الميكروبات: ينقسم الميكروب إلى نصفين مكونا ميكروبين، وينقسم كل منهما إلى نصفين فيصبحوا أربعة ميكروبات. ثم تنقسم الأربعة ميكروبات وتصبح ثمانية ميكروبات.

أي يبلغ عدد الميكروبات بعد 3 انقسامات:

N = 2³

N = 8

فإذا أردنا معرفة عدد الميكروبات بعد 6 انقسامات، صغنا المعادلة كالآتي:

N = 2⁶

N = 64

أي أن عدد الميكروبات الناتجة عن ميكروب واحد بعد ستة انقسامات يبلغ 64 ميكروبا.

امثلة للدالة الأسية للأساس الطبيعي e

التزايد السكاني:

يبلغ عدد سكان إحدى المدن 4 ملايين نسمة، فما عدد سكان المدينة بعد ستة سنوات إذا كان معدل تزايد السكان السنوي 2,5 %؟

نكتب المعادلة الآتي:

N = 4. e^0,025.6

أو:

(N = 4. Exp(0,025.6

والنتيجة:

مليون نسمة N = 4,647 بعد 6 سنوات.

مثال 3 :

تكوّن النجوم: تتزايد كتلة أحد النجوم عن طريق اجتذابه للمادة حوله بمعدل 2 و0 % سنويا، فما تكون كتلته بعد 170 سنة؟.

N = 1. e^0,002.170

N = 1. e^0,34

باستخدام الحاسوب نحصل على زيادة كتلته بنسبة 4 و1 خلال 170 سنة.

مثال 4:

تغير كثافة الهواء بالارتفاع عن سطح الأرض. المعادلة هي:

${\rho }=\rho _{b}\cdot \exp \left[{\frac {-g_{0}\cdot M\cdot (h-h_{b})}{R^{*}\cdot T_{b}}}\right]$

حيث الارتفاع h والارتفاع عند سطح الأرض $\ (h_{b})$.

(أنظر تغير الضغط بالارتفاع)

اقرأ أيضاً

• الدوال الإبتدائية
• تغير الضغط بالارتفاع
• توزيع بولتزمان
• احصاء ماكسويل-بولتزمان
• تجانس
• اختبار الوحدات