กฎผลคูณ

ในคณิตศาสตร์ กฎผลคูณของแคลคูลัส หรือเรียกว่า กฎของไลบ์นิซ เป็นสูตรสำหรับหาอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้สองฟังก์ชันหรือมากกว่า ซึ่งอาจเขียนในสัญกรณ์ของลากร็องฌ์ได้ดังนี้

$\,\!(fg)'=f'g+fg'$

หรือด้วยสัญกรณ์ไลบ์นิซดังนี้

${d \over dx}(uv)=u{dv \over dx}+v{du \over dx}$

กฎผลคูณสามารถขยายไปยังผลคูณของฟังก์ชันสามจัวหรือมากกว่าก็ได้ หรือในกรณีอื่น ๆ ที่ไม่ใช่การหาอนุพันธ์โดยตรง

การค้นพบโดยไลบ์นิซ

ไลบ์นิซได้ชื่อว่าเป็นผู้ค้นพบกฎนี้ ซึ่งพิสูจน์โดยใช้คณิตศาสตร์ดิฟเฟอเรนเชียล แต่ J. M. Child ผู้แปลผลงานของไลบ์นิซ์เสนอว่า ไอแซค บาร์โรว์ เป็นผู้ค้นพบกฎผลคูณก่อน การพิสูจน์ของไลบ์นิซ์เริ่มต้นโดยสมมติให้ u(x) และ v(x) เป็นฟังก์ชันซึ่งหาอนุพันธ์ได้ของ x ดิฟเฟอเรนเชียลของ uv คือ

$d(uv)\,$	$=(u+du)(v+dv)-uv\,$
	$=u(dv)+v(du)+(du)(dv)\,$

แต่เนื่องจากเทอม (du) (dv) มีค่าน้อย ไลบ์นิซสรุปว่า

$d(uv)=(du)v+u(dv)\,$

และนี่คือกฎผลคูณในรูปของดิฟเฟอเรนเชียล ถ้าเราหารตลอดด้วยดิฟเฟอเรนเชียล dx เราจะได้

${\frac {d}{dx}}(uv)=\left({\frac {du}{dx}}\right)v+u\left({\frac {dv}{dx}}\right)$

ซึ่งสามารถเขียนอีกรูปหนึ่งได้เป็น

$(uv)'=u'v+uv'\,$

ตัวอย่าง

• สมมุติว่าคุณต้องการหาอนุพันธ์ของ f(x) = x²sin(x) โดยการใช้กฎผลคูณจะได้คำตอบ f'(x) = 2x sin(x) + x²cos(x) (เนื่องจากอนุพันธ์ของ x² คือ 2x และอนุพันธ์ของ sin(x) คือ cos(x)).
• กฎการคูณด้วยค่าคงที่ (Constant Multiple Rule) ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของกฎผลคูณ กล่าวไว้ว่า: ถ้า c เป็น จำนวนจริง และ f (x) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ จะได้ว่า cf (x) ก็หาอนุพันธ์ได้เช่นกัน และมีอนุพันธ์เป็น (c × f)' (x) = c × f'(x). (นี่เป็นผลจากกฎการคูณ เนื่องจากอนุพันธ์ของค่าคงที่ มีค่าเป็นศูนย์) เมื่อนำผลที่ได้นี้รวมเข้ากับกฎผลบวกจะได้ว่า การหาอนุพันธ์เป็นกระบวนการเชิงเส้น
• กฎผลคูณสามารถใช้พิสูจน์การหาปริพันธ์ทีละส่วน และกฎผลหารแบบ"อ่อน" (เพราะกฎผลคูณไม่ได้พิสูจน์ว่าผลหารของฟังก์ชันสองฟังก์ชันจะหาอนุพันธ์ได้ แต่พิสูจน์ว่าหากอนุพันธ์หาได้ จะมีค่าเท่าใดเท่านั้น)

การพิสูจน์กฎผลคูณ

กฎผลคูณสามารถพิสูจน์ได้โดยอาศัยคุณสมบัติของลิมิต นิยามของอนุพันธ์ และทฤษฎีบทที่ว่าฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง:

พิสูจน์ —

สมมุติว่า $f(x)=g(x)h(x)\,$ โดยที่ $g$ และ $h$ หาอนุพันธ์ได้ที่ $x$ พิจารณาลิมิตของเศษส่วนในนิยามของอนุพันธ์

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)}{\Delta x}}$

เนื่องจาก

$g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)=g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))+h(x+\Delta x)(g(x+\Delta x)-g(x)),\,$

จะได้ว่า

${\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))+h(x+\Delta x)(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}\left[g(x)\left({\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right)+h(x+\Delta x)\left({\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right)\right]\end{aligned}}$

เนื่องจาก h หาอนุพันธ์ได้ที่ x ดังนั้นจึงต่อเนื่องที่ x ด้วย เราได้

$\lim _{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)=h(x)$

และจาก $g$ และ $h$ หาอนุพันธ์ได้ที่ $x$ จะได้ว่า

$h'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}$ และ $g'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}$

เมื่อรวมทุกอย่างเข้าด้วยกันจะได้

${\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}g(x)\left({\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right)+h(x+\Delta x)\left({\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right)\\&=\left[\lim _{\Delta x\to 0}g(x)\right]\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right]+\left[\lim _{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)\right]\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right]\\&=g(x)h'(x)+h(x)g'(x)\end{aligned}}$

เป็นการแสดงว่า $f$ หาอนุพันธ์ได้ที่ $x$ และอนุพันธ์ของ $f$ เท่ากับ $g(x)h'(x)+h(x)g'(x)$

นัยทั่วไป

ผลคูณมากกว่าสองฟังก์ชัน

กฏผลคูณสามารถวางนัยทั่วไปให้กับกรณีที่มีตัวประกอบคูณกันมากกว่าสองตัวได้ อย่างเช่น หากมีตัวประกอบสามตัวจะได้

${\frac {d(uvw)}{dx}}={\frac {du}{dx}}vw+u{\frac {dv}{dx}}w+uv{\frac {dw}{dx}}$

และสำหรับเซตของฟังก์ชัน $f_{1},\dots ,f_{k}$ จะได้ว่า

${\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left(\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\right)\prod _{j=1,j\neq i}^{k}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right)$

พีชคณิตนามธรรม

ในพีชคณิตนามธรรม กฎผลคูณใช้เป็นนิยามของการดำเนินการอนุพันธ์

แคลคูลัสเวกเตอร์

กฎผลคูณขยายไปยังการคูณด้วยสเกลาร์ ผลคูณจุด และผลคูณไขว้ของฟังก์ชันเวกเตอร์ดังต่อไปนี้

สำหรับการคูณด้วยสเกลาร์: $(f\cdot \mathbf {g} )'=f'\cdot \mathbf {g} +f\cdot \mathbf {g} '$

สำหรับผลคูณจุด: $(\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\cdot \mathbf {g} +\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} '$

สำหรับผลคูณไขว้: $(\mathbf {f} \times \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\times \mathbf {g} +\mathbf {f} \times \mathbf {g} '$

นอกจากนี้ยังมีกฎผลคูณสำหรับกระบวนการอื่นที่คล้ายคลึงกับการหาอนุพันธ์: ถ้า f และ g เป็นฟีลด์สเกลาร์แล้วเกรเดียนต์จะสอดคล้องกับกฎผลคูณ

$$\nabla (f\cdot g)=\nabla f\cdot g+f\cdot \nabla g$$

ดูเพิ่ม

• กฎผลหาร
• การหาปริพันธ์เป็นส่วน
• ดิฟเฟอเรนเชียล