エノン写像

a = 1.4、b = 0.3のエノン写像におけるx_nとy_nの時間発展、変数の不規則な振る舞いが見て取れる。
初期値：x₁=0.1、y₁=0
繰り返し数：n = 500まで

エノン写像（エノンしゃぞう、Hénon map）とは、2次元の離散力学系の一種。次の2変数連立常差分方程式（漸化式）で示される^[1]。

{\begin{cases}x_{n+1}=1-ax_{n}^{2}+y_{n}\\y_{n+1}=bx_{n}\end{cases}}

ここで、a、bは定数で、単にパラメータなどと呼ぶ^[1]。

エノン写像は、1976年にフランスの天文学者ミシェル・エノン（fr:Michel Hénon）により発表された^[2]^[3]。エノンは、1963年に発表されたローレンツ方程式が生み出すカオスをさらに研究するため、ローレンツの系の本質的性質を同様に持ちつつも、より簡単な数学モデルを構築することを目的に上記の写像を考案した^[4]。

また、1969年にエノンが発表した以下の形式の写像についても、もう一つのエノン写像として紹介される場合もある^[5]^[6]。

{\begin{cases}x_{n+1}=x_{n}\cos \alpha +(y_{n}-x_{n}^{2})\sin \alpha \\y_{n+1}=x_{n}\sin \alpha +(y_{n}-x_{n}^{2})\cos \alpha \end{cases}}

エノン・アトラクタ

エノン写像におけるa、bは任意の定数だが、写像がストレンジアトラクタとなるような最適なパラメータとして、エノンはa = 1.4、b = 0.3を提案し^[7]、これらの値がエノン写像における標準的なパラメータ値としてよく使用される^[8]。このときの解軌道はエノン・アトラクタと呼ばれる^[9]。

また、他のストレンジアトラクタ同様にエレン・アトラクタの解軌道はフラクタル構造を持つ^[10]。図形を拡大していくと、無限に相似の形状が表れる^[10]。フラクタル次元は、容量次元（英語版）では約1.27、相関次元（英語版）では約1.23である^[11]^[12]。

分岐図

ロジスティック写像などと同様にパラメータa、bの変化に応じて、カオスだけではなく、周期的振る舞いに落ち着いたり、固定点へ収束したりするような振る舞いに変わる^[8]。

パラメータに応じて写像の変数が最終的にどのような値に落ち着くかを示すのに分岐図が用いられるが、エノン写像のような2次元写像の場合には、横軸と縦軸にパラメータ変化を取ってパラメータ2つの変化の影響を同時に観察する2パラメータ分岐図と、1つのパラメータは固定してもう1つのパラメータ変化の影響だけを観察する1パラメータ分岐図がある^[1]^[13]。

上図はb = 0.3におけるエノン写像の1パラメータ分岐図の例で、各種の分岐が観察される。aが約0.912を超えると2周期から4周期への周期倍分岐が発生する^[14]。また、約1.226を超えると不規則な振る舞いから7周期軌道へ変化するサドルノード分岐が発生する^[14]。

約1.115と約1.271を超えたときには、アトラクタの軌道が突然大きくなる内部クライシスと呼ばれる現象が発生する^[14]。エノン・アトラクタにおけるパラメータ値であるa = 1.4を超え、さらに約1.426を超えると、アトラクタを描いていた解軌道は崩壊して変数はマイナスへ発散するようになる。これは境界クライシスと呼ばれ^[14]、本質的には内部クライシスと同じ現象だがアトラクタ軌道が大きくなるに留まらず、無限遠へ発散する^[15]。

脚注

^ ^a ^b ^c 小室 2005, p. 123.
^ 合原・黒崎・高橋 1999, p. 99.
^ Hénon 1976.
^ Hénon 1976, pp. 69–70.
^ Weisstein.
^ Hénon 1969.
^ Hénon 1976, p. 72.
^ ^a ^b 合原・黒崎・高橋 1999, p. 103.
^ 合原・黒崎・高橋 1999, p. 102.
^ ^a ^b 合原・黒崎・高橋 1999, p. 105.
^ アリグッド・サウアー・ヨーク 2012, p. 198.
^ アリグッド・サウアー・ヨーク 2012, p. 200.
^ 小室 2005, p. 128.
^ ^a ^b ^c ^d 小室 2005, p. 126.
^ 小室 2005, p. 122.

参考文献

Hénon, Michel (1976). “A two-dimensional mapping with a strange attractor”. Communications in Mathematical Physics (Springer) 50 (1): 69-77.
Hénon, Michel (October 1969). “Numerical Study of Quadratic Area-Preserving Mappings”. Quarterly of Applied Mathematics (Brown University) 27 (3): 291-312.
小室元政、2005、『基礎からの力学系 -分岐解析からカオス的遍歴へ-』新版、サイエンス社 ISBN 4-7819-1118-8
合原一幸・黒崎政男・高橋純、遠藤諭（編）、1999、『哲学者クロサキと工学者アイハラの神はカオスに宿りたもう』初版、アスキー ISBN 4-7561-3133-6
K.T.アリグッド・T.D.サウアー・J.A.ヨーク、シュプリンガー・ジャパン（編）、津田一郎（監訳）、星野高志・阿部巨仁・黒田拓・松本和宏（訳）、2012、『カオス　第1巻　力学系入門』、丸善出版 ISBN 978-4-621-06223-4
Eric W. Weisstein. “Hénon Map”. MathWorld. Wolfram Research. 2014年10月26日閲覧。

[FOOTNOTE小室2005123-1] 小室 2005, p. 123.

[FOOTNOTE合原・黒崎・高橋199999-2] 合原・黒崎・高橋 1999, p. 99.

[FOOTNOTEHénon1976-3] Hénon 1976.

[FOOTNOTEHénon197669–70-4] Hénon 1976, pp. 69–70.

[FOOTNOTEWeisstein-5] Weisstein.

[FOOTNOTEHénon1969-6] Hénon 1969.

[FOOTNOTEHénon197672-7] Hénon 1976, p. 72.

[FOOTNOTE合原・黒崎・高橋1999103-8] 合原・黒崎・高橋 1999, p. 103.

[FOOTNOTE合原・黒崎・高橋1999102-9] 合原・黒崎・高橋 1999, p. 102.

[FOOTNOTE合原・黒崎・高橋1999105-10] 合原・黒崎・高橋 1999, p. 105.

[FOOTNOTEアリグッド・サウアー・ヨーク2012198-11] アリグッド・サウアー・ヨーク 2012, p. 198.

[FOOTNOTEアリグッド・サウアー・ヨーク2012200-12] アリグッド・サウアー・ヨーク 2012, p. 200.

[FOOTNOTE小室2005128-13] 小室 2005, p. 128.

[FOOTNOTE小室2005126-14] 小室 2005, p. 126.

[FOOTNOTE小室2005122-15] 小室 2005, p. 122.

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