この項目では、数学について説明しています。その他の用法については「リミット 」をご覧ください。
数学 においては、数列 など、ある種の数学的対象をひとまとまりに並べて考えたものについての極限 （きょくげん、英 : limit 極限 あるいは極限値 といい、この数列は収束する という。収束せず正の無限大、負の無限大、振動することを発散する という。
極限を表す記号として、lim (英語 : limit , リミット、ラテン語 : limes )という記号が一般的に用いられる。例えば次のように使う:
lim
n
→
∞
x
n
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}
lim
x
→
0
sin
x
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}
実数 の数列 が収束する (converge ) あるいは有限の極限を持つ 若しくは極限が有限確定である とは、番号が進むにつれてその数列の項がある1つの値に限りなく近づいていくことをいう。このとき確定する値をその数列の極限値 という。収束しない数列は発散する (diverge )といい、それらはさらに極限を持つものと持たないものに分かれる。発散する数列のうち極限を持つものには、正の無限大に発散する ものと負の無限大に発散する ものがあり、極限が確定しないものは振動する (oscillate )という。
自然数 の逆数 の列 1, 1 / 2 1 / 3 1 / n n を限りなく大きくしていくと一般項 1 / n 0 に近づいていく。このときこの数列は 0 に収束するといい、このことを
lim
n
→
∞
1
n
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0}
あるいは
1
n
→
0
(
n
→
∞
)
{\displaystyle {\frac {1}{n}}\to 0\quad (n\to \infty )}
と書く。
カール・ワイエルシュトラス は「限りなく近づく」という曖昧な表現は使わず、イプシロン-デルタ論法 を用いて厳密に収束を定義した。これによれば、数列 {an } がある一定の値 α に収束するとは、次が成り立つことである（この場合はイプシロン-エヌ論法とも言う）:
∀
ε
>
0
,
∃
n
0
∈
N
s.t.
∀
n
∈
N
[
n
>
n
0
⇒
|
a
n
−
α
|
<
ε
]
{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} {\text{ s.t. }}\forall n\in \mathbb {N} \left[n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-\alpha |<\varepsilon \right]}
（どんなに小さな正の数 ε をとっても、その ε に対して適切な番号 n 0 n 0 n に対する an は α から ε ほども離れない範囲に全部入るようにすることができる） これを用いると、an = 1 / n 0 であることを以下のようにして示すことができる。
（証明）
自然数は上に
有界 でない（
アルキメデスの性質 ）から、
∀
ε
>
0
,
∃
n
0
;
∀
n
[
n
>
n
0
⟹
n
>
1
ε
]
.
{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists n_{0};\forall n\left[n>n_{0}\Longrightarrow n>{\frac {1}{\varepsilon }}\right].}
従って
|
1
n
−
0
|
=
1
n
<
ε
(
n
>
n
0
)
⟺
lim
n
→
∞
1
n
=
0.
□
{\displaystyle \left|{\frac {1}{n}}-0\right|={\frac {1}{n}}<\varepsilon \ (n>n_{0})\Longleftrightarrow \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0.\;\;{\mbox{□}}}
数列が収束するとき、その極限値はただ一つに限る。
lim
n
→
∞
a
n
=
α
,
lim
n
→
∞
a
n
=
β
⟹
α
=
β
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha ,\lim _{n\to \infty }a_{n}=\beta \Longrightarrow \alpha =\beta }
収束する数列から項を有限個取り除いても、得られた数列は同じ値に収束する。
収束する数列は数の集合として有界である。
lim
n
→
∞
a
n
=
α
⟹
∃
K
>
0
;
∀
n
|
a
n
|
<
K
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha \Longrightarrow \exists K>0;\forall n\;|a_{n}|<K}
∀
n
a
n
≤
b
n
,
lim
n
→
∞
a
n
=
α
,
lim
n
→
∞
b
n
=
β
⟹
α
≤
β
{\displaystyle \forall n\;a_{n}\leq b_{n},\;\lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha ,\;\lim _{n\to \infty }b_{n}=\beta \Longrightarrow \alpha \leq \beta }
数列が収束しないとき、その数列は発散する という。特に、番号 n を限りなく大きくしていくとき、数列の項の値 an が限りなく大きくなることを、数列 {an } は正の無限大に発散する といい、
lim
n
→
∞
a
n
=
∞
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty }
または
a
n
→
∞
(
n
→
∞
)
{\displaystyle a_{n}\to \infty \;(n\to \infty )}
のように表す。イプシロン-エヌ論法では、数列の正の無限大への発散は、
∀
K
>
0
,
∃
n
0
∈
N
;
∀
n
∈
N
[
n
>
n
0
⟹
a
n
>
K
]
{\displaystyle \forall K>0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} ;\forall n\in \mathbb {N} \;{\bigg [}n>n_{0}\Longrightarrow a_{n}>K{\bigg ]}}
のように定式化される。
また、番号 n を限りなく大きくしていくとき、数列の項の値 an が限りなく小さくなることを、数列 {an } は負の無限大に発散する といい、
lim
n
→
∞
a
n
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty }
または、
a
n
→
−
∞
(
n
→
∞
)
{\displaystyle a_{n}\to -\infty \;(n\to \infty )}
と表す。数列 {an } が負の無限大へ発散することは、各項 an を反数 にした数列 {bn } (bn = −an , n = 1, 2, 3, …) 同値 である。あるいは絶対値をとって得られる数列
∀
K
<
0
,
∃
n
0
∈
N
;
∀
n
∈
N
[
n
>
n
0
⟹
a
n
<
K
]
{\displaystyle \forall K<0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} ;\;\forall n\in \mathbb {N} \;{\bigg [}n>n_{0}\Longrightarrow a_{n}<K{\bigg ]}}
となる。
数列が収束せず、また正の無限大にも負の無限大にも発散しない場合、その数列は振動する という。振動も発散の一種である。
実数の列
(
x
n
)
n
{\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n}}
R
{\displaystyle R}
R
<
x
n
{\displaystyle R<x_{n}}
(
x
n
)
n
{\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n}}
(
x
n
)
n
{\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n}}
下極限 と呼ばれる数
lim
_
n
→
∞
x
n
{\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }x_{n}}
を定めることができる。同様にして、上に有界な数列に対しその上極限
lim
¯
n
→
∞
x
n
{\displaystyle \varlimsup _{n\to \infty }x_{n}}
が定義される。
（
lim
¯
{\displaystyle \varlimsup }
lim sup
{\displaystyle \limsup }
lim
_
{\displaystyle \varliminf }
lim inf
{\displaystyle \liminf }
数列
(
x
n
)
n
{\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n}}
lim
_
n
→
∞
x
n
=
lim
¯
n
→
∞
x
n
{\displaystyle \textstyle \varliminf \limits _{n\to \infty }x_{n}=\varlimsup \limits _{n\to \infty }x_{n}}
lim
n
→
∞
x
n
=
lim
_
n
→
∞
x
n
=
lim
¯
n
→
∞
x
n
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=\varliminf _{n\to \infty }x_{n}=\varlimsup _{n\to \infty }x_{n}}
となる。さらに、有界な数列のなすベクトル空間
l
∞
N
{\displaystyle l_{\infty }\mathbf {N} }
(
x
n
)
n
{\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n}}
バナッハ極限 と呼ばれる数
L
I
M
x
n
{\displaystyle {\mathrm {LIM} }\;x_{n}}
ユークリッド空間 のように、距離函数 d の定まった空間における点の列についての収束の概念を、実数の列の収束の概念を拡張して定めることができる。すなわち、点列 (xn )n が点 y に収束するとは、正の実数列 (d (xn , y ))n が 0 に収束することである。この概念をさらに一般化して、自然数によって数え上げられるとは限らない「列」とその収束性を一般の位相空間 に対して定式化することができる。（#位相空間 を参照のこと）
距離 d に関する極限であることを明示するために lim の代わりに d -lim などと書くこともある。
f (x )c を実数とする。式
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}
または
f
(
x
)
→
L
(
x
→
c
)
{\displaystyle f(x)\rightarrow L\quad (x\rightarrow c)}
とは、x の値を c に“十分に近づければ”f (x )L に望む限りいくらでも近づけることができることを意味する。このとき「x を c に近づけたとき f (x )L である」という。これはイプシロン-デルタ論法 により
∀
ε
>
0
,
∃
δ
>
0
;
∀
x
[
0
<
|
x
−
c
|
<
δ
⟹
|
f
(
x
)
−
L
|
<
ε
]
{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\;\exists \delta >0;\;\forall x\;{\bigg [}0<|x-c|<\delta \Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon {\bigg ]}}
という形で厳密に定義される。このとき、この極限と関数 f (x )x = c f (c ) ≠ L f が c において定義されている必要もないのである。
このことを理解するために次の例を挙げる。
x が 2 に近づくときの f (x ) = x /(x 2 + 1)f (x )x が 2 のときに定義されており、値は 0.4 である。
f
(
1.9
)
=
0.4121
{\displaystyle f(1.9)=0.4121}
f
(
1.99
)
=
0.4012
{\displaystyle f(1.99)=0.4012}
f
(
1.999
)
=
0.4001
{\displaystyle f(1.999)=0.4001}
x が 2 に近づくにつれて f (x )0.4 に近づいていく。したがって、
lim
x
→
2
f
(
x
)
=
0.4
{\displaystyle \lim _{x\to 2}f(x)=0.4}
f
(
c
)
=
lim
x
→
c
f
(
x
)
{\displaystyle f(c)=\lim _{x\to c}f(x)}
f (x )x = c 連続 であるという。しかし、このようなことが常に成り立つとは限らない。
例として、
g
(
x
)
=
{
x
x
2
+
1
,
if
x
≠
2
0
,
if
x
=
2
{\displaystyle g(x)={\begin{cases}{\dfrac {x}{x^{2}+1}},&{\mbox{if }}x\neq 2\\0,&{\mbox{if }}x=2\end{cases}}}
を考える。x が 2 に近づくときの g (x )0.4 であるが、
lim
x
→
2
g
(
x
)
≠
g
(
2
)
{\displaystyle \lim _{x\to 2}g(x)\neq g(2)}
g (x )x = 2
また、x → c f (x )x が c に限りなく近づくとき関数 f (x )
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty }
または、
f
(
x
)
→
∞
(
x
→
c
)
{\displaystyle f(x)\to \infty \quad (x\to c)}
と表す。このことは次のように厳密に定義される。
∀
K
>
0
,
∃
δ
>
0
;
∀
x
[
0
<
|
x
−
c
|
<
δ
⟹
f
(
x
)
>
K
]
{\displaystyle \forall K>0,\exists \delta >0;\;\forall x\;{\bigg [}0<|x-c|<\delta \Longrightarrow f(x)>K{\bigg ]}}
逆に、x → c f (x )x が c に限りなく近づくとき関数 f (x )
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=-\infty }
または、
f
(
x
)
→
−
∞
(
x
→
c
)
{\displaystyle f(x)\to -\infty \quad (x\to c)}
と表す。これは次のように厳密に定義される。
∀
K
<
0
,
∃
δ
>
0
;
∀
x
[
0
<
|
x
−
c
|
<
δ
⟹
f
(
x
)
<
K
]
{\displaystyle \forall K<0,\exists \delta >0;\;\forall x\;{\bigg [}0<|x-c|<\delta \Longrightarrow f(x)<K{\bigg ]}}
連続な実関数 f (x )x → c f (x )x = c x = c
一般には x がある有限の値に近づくときを考えることが多いが、x が正か負の無限 に近づくときの関数の極限を定義することもできる。
ある無限区間 (a , ∞) （を含む集合）で定義される関数 f (x )x が限りなく大きくなると関数 f (x )L に近づくとき、「x が限りなく大きくなるとき f (x )L に収束する」といい、
lim
x
→
∞
f
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L}
または、
f
(
x
)
→
L
(
x
→
∞
)
{\displaystyle f(x)\rightarrow L\quad (x\rightarrow \infty )}
と表す。
これは次のように定義される。
∀
ε
>
0
,
∃
X
>
0
;
∀
x
[
x
>
X
⟹
|
f
(
x
)
−
L
|
<
ε
]
{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\;\exists X>0;\;\forall x\;{\bigg [}x>X\Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon {\bigg ]}}
例えば、
f
(
x
)
=
2
x
x
+
1
{\displaystyle f(x)={\frac {2x}{x+1}}}
f
(
100
)
=
1.9802
{\displaystyle f(100)=1.9802}
f
(
1000
)
=
1.9980
{\displaystyle f(1000)=1.9980}
f
(
10000
)
=
1.9998
{\displaystyle f(10000)=1.9998}
x が十分大きくなるにつれて、f (x )2 に近づく。このとき
lim
x
→
∞
f
(
x
)
=
2
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=2}
また、ある無限区間 (−∞, a ) で定義される関数 f (x )x が限りなく小さくなると関数 f (x )L に近づくとき、「x が限りなく小さくなるとき f (x )L に収束する」といい、
lim
x
→
−
∞
f
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=L}
または、
f
(
x
)
→
L
(
x
→
−
∞
)
{\displaystyle f(x)\rightarrow L\quad (x\rightarrow -\infty )}
と表す。
これは次のように定義される。
∀
ε
>
0
,
∃
X
<
0
;
∀
x
[
x
<
X
⟹
|
f
(
x
)
−
L
|
<
ε
]
{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists X<0;\forall x\;{\bigg [}x<X\Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon {\bigg ]}}
関数の無限における極限においても、関数の発散を考えることができる。
ある無限区間
(
a
,
∞
)
{\displaystyle (a,\infty )}
f (x )x が限りなく大きくなると関数 f (x )x が限りなく大きくなるとき f (x )
lim
x
→
∞
f
(
x
)
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty }
または、
f
(
x
)
→
∞
(
x
→
∞
)
{\displaystyle f(x)\rightarrow \infty \quad (x\rightarrow \infty )}
と表す。
これは次のように定義される。
∀
K
>
0
,
∃
X
>
0
;
∀
x
[
x
>
X
⟹
f
(
x
)
>
K
]
{\displaystyle \forall K>0,\exists X>0;\forall x\;{\bigg [}x>X\Longrightarrow f(x)>K{\bigg ]}}
また、ある無限区間
(
−
∞
,
a
)
{\displaystyle (-\infty ,a)}
f (x )x が限りなく小さくなると関数 f (x )x が限りなく小さくなるとき f (x )
lim
x
→
−
∞
f
(
x
)
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=\infty }
または、
f
(
x
)
→
∞
(
x
→
−
∞
)
{\displaystyle f(x)\rightarrow \infty \quad (x\rightarrow -\infty )}
と表す。
これは次のように定義される。
∀
K
>
0
,
∃
X
<
0
;
∀
x
[
x
<
X
⟹
f
(
x
)
>
K
]
{\displaystyle \forall K>0,\exists X<0;\forall x\;{\bigg [}x<X\Longrightarrow f(x)>K{\bigg ]}}
同様に、
x
→
∞
{\displaystyle x\rightarrow \infty }
x
→
−
∞
{\displaystyle x\rightarrow -\infty }
x
→
∞
{\displaystyle x\rightarrow \infty }
x
→
−
∞
{\displaystyle x\rightarrow -\infty }
f (x )
I
⊂
R
,
f
n
,
f
:
I
→
R
{\displaystyle I\subset \mathbb {R} ,\;f_{n},f\colon I\rightarrow \mathbb {R} }
{fn } が f に I 上各点収束
∀
ε
>
0
,
∀
x
∈
I
,
∃
n
0
∈
N
;
∀
n
∈
N
[
n
≥
n
0
⇒
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
<
ε
]
{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\forall x\in I,\exists n_{0}\in \mathbb {N} ;\forall n\in \mathbb {N} \;{\bigg [}n\geq n_{0}\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon {\bigg ]}}
が成り立つことである。これは、
各
x
∈
I
{\displaystyle x\in I}
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
→
0
(
n
→
∞
)
{\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\rightarrow 0\quad (n\rightarrow \infty )}
と同値 である。これを各点収束の定義とすることもある。
{fn } が f に I 上一様収束
∀
ε
>
0
,
∃
n
0
∈
N
;
∀
x
∈
I
,
∀
n
∈
N
[
n
≥
n
0
⇒
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
<
ε
]
{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} ;\forall x\in I,\forall n\in \mathbb {N} {\bigg [}n\geq n_{0}\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon {\bigg ]}}
これは、
‖
f
n
−
f
‖
∞
:=
sup
x
∈
I
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
→
0
(
n
→
∞
)
{\displaystyle \|f_{n}-f\|_{\infty }:=\sup _{x\in I}|f_{n}(x)-f(x)|\rightarrow 0\quad (n\rightarrow \infty )}
と同値である。上で定義したノルム をスープノルム（または無限大ノルム、上限ノルム）と言う。スープノルムの収束をもって一様収束を定義することもある。
また、区間 I の任意のコンパクト空間 上一様収束することをコンパクト一様収束 I の任意の有界閉区間上一様収束することを広義一様収束ということもある。
定義より、「fn が I 上一様収束⇒fn が I 上各点収束」が成り立つ（逆は必ずしも成り立たない）。関数の一様収束性は、lim と ∫ の順序交換や、函数項級数 （英語版 ）
関数の一様収束性を証明するには、上のようにスープノルムの収束を示すのが一般的である。関数項級数の一様収束性ではワイエルシュトラスのM判定法 も用いられる。
点列の収束の概念は、一般の位相空間 においても収束先の近傍系をもちいて定式化される。しかし、一般的な位相空間の位相構造は、どんな点列が収束しているかという条件によって特徴付けできるとは限らない。そこで、有向点族 やフィルター といった、点列を拡張した構成とその収束の概念が必要になる。任意の位相空間 X に対し、X 上で収束している（収束先の情報も込めた）フィルターの全体 CN(X ) や、あるいは収束しているフィルターの全体 CF(X ) を考えると、これらからは X の位相が復元できる。
圏 C における図式 を「添字圏」 J から C への関手 と見なすことにする。特定の図式に対応する関手が与えられたとき、C の対象 X と射 の族 (φi X → Fi )i ∈Obj(J )
J の任意の射 j について F (j ) φi 0 i 1 i 0 = dom j 、i 1 = ran j である。C の任意の対象 Y と射の族 (φi X → Fi )i ∈Obj(J )g : Y → X で φi g = ψi i ∈ Obj(J ))を満たすものが一意的に存在する。このような条件を満たす X （と族 φi F が表す図式の極限 （あるいは射影極限 、逆極限）と呼ぶ。極限の満たす普遍性 により、それぞれの図式に対する極限は（あったとして）自然な同型をのぞき一意に定まる。
極限の典型的な例として、対象の族 (Xi )i ∈I 直積 ∏i Xi や二つの射 f , g : X → Y の等化射が挙げられる。特定の形 J の図式について必ず C における極限が存在するとき、図式から極限への対応は関手圏 CJ への対角射 ⊿ C → CJ に対する随伴関手 としてとらえることができる。
この双対 は補極限 （あるいは帰納極限 や順極限）と呼ばれる。
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} {\text{ s.t. }}\forall n\in \mathbb {N} \left[n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-\alpha |<\varepsilon \right]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/b77c488507948f95a30f606c0bb297e755d00bba)
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists n_{0};\forall n\left[n>n_{0}\Longrightarrow n>{\frac {1}{\varepsilon }}\right].}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/731ae62c51f346b9b6ffdab2ef505b648f54530f)
![{\displaystyle \forall K>0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} ;\forall n\in \mathbb {N} \;{\bigg [}n>n_{0}\Longrightarrow a_{n}>K{\bigg ]}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/0625fe9295a055b2aaa44a284bd7071e0fd54d2e)
![{\displaystyle \forall K<0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} ;\;\forall n\in \mathbb {N} \;{\bigg [}n>n_{0}\Longrightarrow a_{n}<K{\bigg ]}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a5c80a9a7926398a6f03296d2b1ab73bd3f7adf)
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\;\exists \delta >0;\;\forall x\;{\bigg [}0<|x-c|<\delta \Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon {\bigg ]}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/c83a730b7b09f675703c2536ea4c88d9158aeb6f)
![{\displaystyle \forall K>0,\exists \delta >0;\;\forall x\;{\bigg [}0<|x-c|<\delta \Longrightarrow f(x)>K{\bigg ]}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab10c8ac05d14bccf61850a07ec13129af1380eb)
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![{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists X<0;\forall x\;{\bigg [}x<X\Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon {\bigg ]}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/e25aee15c587360d5052c441ccefb567fc33aaee)
![{\displaystyle \forall K>0,\exists X>0;\forall x\;{\bigg [}x>X\Longrightarrow f(x)>K{\bigg ]}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d481c3c2dc5b93eb027d58d3be76e76befc6981)
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![{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\forall x\in I,\exists n_{0}\in \mathbb {N} ;\forall n\in \mathbb {N} \;{\bigg [}n\geq n_{0}\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon {\bigg ]}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/99cc098d23db7bf2bdce53ff230bebffcac2c553)
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} ;\forall x\in I,\forall n\in \mathbb {N} {\bigg [}n\geq n_{0}\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon {\bigg ]}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/499bd284b10d1067958cd581b0e8274f6205ba8d)
