군론과 대수적 위상수학에서 교차 가군(交叉加群, 영어: crossed module)은 2-군의 데이터를 담고 있는 대수적 구조이다.[1] 구체적으로, 서로 군 준동형 및 작용을 갖는 두 군으로 구성된다.
교차 가군은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 군
- 군
- 군 준동형
- 군 준동형
이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
- (파이퍼 항등식 영어: Peiffer identity)
가환 그림으로 적으면 이 두 조건은 다음과 같다.
이 개념은 사실 군의 범주 속의 내적 범주 또는 범주의 범주 속의 군 대상과 사실상 같다. 전자의 경우, 대상의 군은 이며, 사상의 군은 이다.[2] 이 경우
이며, 항등 사상은 포함 군 준동형 이다.
구체적으로, 군의 범주 속의 내적 범주는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 대상의 군
- 사상의 군
- 항등 사상을 정의하는 군 준동형
- 사상의 정의역을 정의하는 군 준동형
- 사상의 공역을 정의하는 군 준동형
- 사상의 합성을 정의하는 군 준동형
이는 교차 가군의 데이터와 다음과 같이 대응된다.
교차 가군 |
군의 범주의 내적 범주
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, |
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임의의 군 의 정규 부분군 이 주어졌을 때,
로 잡으면, 이는 교차 가군을 이룬다.
다음 두 개념이 서로 동치이다.
- 군 의 군환 의 왼쪽 가군
- (치역이 의 항등원인 상수 함수)인 교차 가군
즉, -왼쪽 가군의 범주는 에 대한 교차 가군의 범주의 부분 범주를 이룬다. 다시 말해, 교차 가군의 개념은 군의 가군의 개념의 일반화이다.
사실, 파이퍼 항등식을
와 같이 쓰면, 이는 가 “뒤틀린 교환 법칙”을 따른다는 것으로 해석될 수 있다.
군의 짧은 완전열
에서, 가 아벨 군이라고 하자. 그렇다면,
을 정의하면, 는 교차 가군을 이룬다.
특히, 만약 이며 가 임의의 아벨 군일 경우, 이는 교차 가군을 이룬다.
마찬가지로, 만약 이며 가 임의의 군일 경우, 이 역시 교차 가군을 이룬다. 이 경우
이다.[3]:Example A.9
임의의 군 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 표준적인 군 준동형
이 존재한다. 즉, 이는 군 원소를 내부 자기 동형에 대응시킨다. 이에 따라, 는 교차 가군을 이루며, 이를 라고 한다.[2]:§2
증명:
파이퍼 항등식은 정의에 따라 성립한다. 나머지 한 조건은
이다. 이를 확인하려면, 임의의 에 대하여, 좌변은
인데, 우변은
이므로, 따라서 이 조건 역시 참이다.
위상 공간 의 부분 공간 및 에 대하여,
- (기본군)
- (2차 호모토피 군)
을 정의하고,
가 상대 호모토피류의 경계로 정의되는 군 준동형이라고 하자. 그렇다면, 이는 교차 가군을 이룬다.
교차 가군 에서, 만약 와 가 리 군이라고 하고, 또 모든 작용 및 군 준동형이 매끄러운 함수라고 하자. 이 경우, 교차 가군 의 구조를 그 리 대수에 제한할 수 있다. 구체적으로, , 라고 할 때, 교차 가군의 구조는 다음과 같이 제한된다.
- 두 유한 차원 실수 리 대수 ,
- 리 대수 준동형 (공역은 의 미분 리 대수)
- 리 대수 준동형
이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
- (무한소 파이퍼 항등식)
특히, 파이퍼 항등식으로부터, 의 리 괄호가 완전히 결정된다. 따라서,
를 정의하면, 는 등급이 0 또는 1인 미분 등급 리 대수이며, 특히 (3차 이상의 괄호들이 모두 0인) L∞-대수의 특수한 경우이다.
존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드가 1941년에 최초로 도입하였으며,[4] 화이트헤드는 1949년에 ‘교차 가군’(영어: crossed module)이라는 용어를 최초로 사용하였다.[5]:453, §2 이에 대하여 화이트헤드는 다음과 같이 적었다.
“
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편의상, 상대 호모토피 군과 같은 대수적 성질을 갖는 군에 대하여 이름을 붙이고, 이에 대하여 몇몇 보조 정리를 증명하자. 이러한 군을 ‘교차 가군’[……]이라고 부르도록 하자.
It will be convenient to have a name for groups with the algebraic properties of relative homotopy groups, and to have proved some lemmas concerning them. We shall call such a group a crossed module […].
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”
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