발산 (벡터)

벡터 미적분학에서 발산(發散) 또는 다이버전스(Divergence)는 벡터장이 정의된 공간의 한 점에서의 장이 퍼져 나오는지, 아니면 모여서 없어지는지의 정도를 측정하는 연산자이다. 예를 들어 마개를 열어 물이 빠지고 있는 욕조 안의 물의 각 지점에서의 물의 속도로 주어지는 벡터장의 경우, 물이 빠지는 마개가 있는 지점의 다이버전스 값은 음이 된다. (이때 물이 빠지는 하수구 방향의 속도는 생각지 않고 물이 마개지점에서 사라진다고 생각하자.) 그리고 그 이외의 지점에서의 발산 값은 물이 갑자기 생기거나 없어지지 않으므로 0이 된다.

정의

다이버전스는 부피에 비해 작은 영역의 표면을 지나는 벡터장의 순흐름이다. 닫힌 평면의 면적분은 밖으로 빠져나오는 벡터 플럭스(flux)의 합을 나타낸다. 즉,

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} =\lim _{V\rightarrow 0}\iint _{S(V)}{\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \over V}\;dS$

여기서 $V$는 R³에서 점 p를 포함하는 임의의 부피가 되고, $S(V)$는 주어진 부피의 표면적이 된다.

직교좌표계에서의 응용

x, y, z 가 3차원 유클리드 공간을 나타내는 직교좌표계라 하고, i, j, k를 각각에 해당하는 단위벡터라고 하자.

연속이고 미분가능한 벡터장이

F = F_x i + F_y j + F_z k

으로 정의되어 있을 때, 벡터장의 발산은 각 지점에서 다음과 같은 스칼라 값을 갖는 스칼라 함수가 된다.

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} ={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}$

발산은 또한 ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F}$으로 많이 쓰고, 나블라 연산자(혹은 델 연산자, ${\boldsymbol {\nabla }}$)와 벡터장 사이의 도트는 벡터 간의 내적을 연상시키기 때문에 ${\boldsymbol {\nabla }}$를 하나의 벡터로 보고 각 성분을 좌표의 편미분으로 생각하면 정의와 부합한다.

같이 보기

• 발산 정리(divergence theorem)