보편 성질

범주론에서 보편 성질(普遍性質, 영어: universal property)은 어떤 조건을 최적하게 만족시켜, 대상을 자동적으로 유일하게 정의하는 조건이다.

정의

함자 $F\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}$ 및 ${\mathcal {C}}$ 의 대상 $X\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$ 가 주어졌을 때, $X$ 에서 $F$ 로 가는 시작 사상(始作寫像, 영어: initial morphism)은 쉼표 범주 $X\downarrow F$ 의 시작 대상 $(A,\phi )$ 이다. 즉, 임의의 $Y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {D}})$ 및 사상 $f\colon X\to F(Y)$ 에 대하여, 다음 그림이 가환하는 유일한 사상 $g\colon A\to Y$ 가 존재한다.

{\begin{matrix}X&{\xrightarrow {\phi }}&F(A)\\&{\scriptstyle f}\searrow &\downarrow \scriptstyle F(g)\\&&F(Y)\end{matrix}}

함자 $F\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}$ 및 ${\mathcal {C}}$ 의 대상 $X\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$ 가 주어졌을 때, $F$ 에서 $X$ 로 가는 끝 사상(끝寫像, 영어: terminal morphism)은 쉼표 범주 $F\downarrow X$ 의 끝 대상 $(A,\phi )$ 이다. 즉, 임의의 $Y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {D}})$ 및 사상 $f\colon F(Y)\to X$ 에 대하여, 다음 그림이 가환하는 유일한 사상 $g\colon Y\to A$ 가 존재한다.