군론 에서 슈라이어 정리 (영어 : Schreier theorem )는 임의의 군 의 두 정규 부분군 의 열을 서로 ‘동치’가 되도록 세분할 수 있다는 정리이다.
군
G
{\displaystyle G}
의 정규 부분군 들의 열
1
=
G
0
⊲
G
1
⊲
G
2
⊲
⋯
⊲
G
m
=
G
{\displaystyle 1=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft G_{2}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft G_{m}=G}
1
=
H
0
⊲
H
1
⊲
H
2
⊲
⋯
⊲
H
n
=
G
{\displaystyle 1=H_{0}\vartriangleleft H_{1}\vartriangleleft H_{2}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft H_{n}=G}
이 주어졌다고 하자. 만약 전자에 유한 개의 부분군 을 추가하여 후자를 얻을 수 있다면, 후자가 전자의 세분 (영어 : refinement )이라고 한다. 만약
m
=
n
{\displaystyle m=n}
이며, 모든
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,\dots ,n}
에 대하여 몫군
G
i
/
G
i
−
1
{\displaystyle G_{i}/G_{i-1}}
와
H
σ
(
i
)
/
H
σ
(
i
)
−
1
{\displaystyle H_{\sigma (i)}/H_{\sigma (i)-1}}
이 동형 이 되는,
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,\dots ,n}
의 순열
σ
{\displaystyle \sigma }
가 존재한다면, 두 열이 서로 동치 (영어 : equivalent )라고 한다.
슈라이어 정리 에 따르면, 군
G
{\displaystyle G}
의 두 정규 부분군 의 열은 서로 동치인 세분을 갖는다.[ 1] :22, §I.3, Theorem 3.4
군
G
{\displaystyle G}
의 두 정규 부분군 의 열
1
=
G
0
⊲
G
1
⊲
G
2
⊲
⋯
⊲
G
m
=
G
{\displaystyle 1=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft G_{2}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft G_{m}=G}
1
=
H
0
⊲
H
1
⊲
H
2
⊲
⋯
⊲
H
n
=
G
{\displaystyle 1=H_{0}\vartriangleleft H_{1}\vartriangleleft H_{2}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft H_{n}=G}
이 주어졌다고 하자.
G
i
j
=
G
i
−
1
(
H
j
∩
G
i
)
(
i
=
1
,
…
,
m
,
j
=
0
,
…
,
n
)
{\displaystyle G_{ij}=G_{i-1}(H_{j}\cap G_{i})\qquad (i=1,\dots ,m,\;j=0,\dots ,n)}
H
i
j
=
H
j
−
1
(
G
i
∩
H
j
)
(
i
=
0
,
…
,
m
,
j
=
1
,
…
,
n
)
{\displaystyle H_{ij}=H_{j-1}(G_{i}\cap H_{j})\qquad (i=0,\dots ,m,\;j=1,\dots ,n)}
라고 하자. 그렇다면, 나비 보조정리 에 따라 각
i
=
1
,
…
,
m
{\displaystyle i=1,\dots ,m}
및
j
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle j=1,\dots ,n}
에 대하여
G
i
,
j
−
1
⊲
G
i
j
{\displaystyle G_{i,j-1}\vartriangleleft G_{ij}}
H
i
−
1
,
j
⊲
H
i
j
{\displaystyle H_{i-1,j}\vartriangleleft H_{ij}}
이며, 다음과 같은 (
m
n
{\displaystyle mn}
쌍의) 몫군 의 동형 이 성립한다.
G
i
j
/
G
i
,
j
−
1
≅
H
i
j
/
H
i
−
1
,
j
{\displaystyle G_{ij}/G_{i,j-1}\cong H_{ij}/H_{i-1,j}}
따라서, 두 열의 세분
1
=
G
0
=
G
10
⊲
G
11
⊲
⋯
⊲
G
1
n
=
G
1
=
G
20
⊲
G
21
⊲
⋯
⊲
G
m
n
=
G
{\displaystyle 1=G_{0}=G_{10}\vartriangleleft G_{11}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft G_{1n}=G_{1}=G_{20}\vartriangleleft G_{21}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft G_{mn}=G}
1
=
H
0
=
H
01
⊲
G
11
⊲
⋯
⊲
G
m
1
=
H
1
=
H
02
⊲
H
12
⊲
⋯
⊲
H
m
n
=
G
{\displaystyle 1=H_{0}=H_{01}\vartriangleleft G_{11}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft G_{m1}=H_{1}=H_{02}\vartriangleleft H_{12}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft H_{mn}=G}
은 서로 동치이다.