작도 가능한 수

2의 제곱근의 작도

작도 가능한 수는 눈금 없는 자와 컴퍼스를 사용하여 작도할 수 있는 수를 말한다. 눈금 없는 자로는 직선을 그릴 수 있고 직선은 $ax+by+c=0$ 같은 일차식으로 나타낼 수 있다. 컴퍼스로는 원을 그릴 수 있고 원은 $x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0$ 같은 이차식으로 나타낼 수 있다. 따라서 유리수에 제곱근과 사칙연산을 유한번(有限番) 적용해서 얻어지는 수만이 작도가 가능하고, 세제곱근이 포함되어 있는 수나 초월수는 작도가 불가능하다. 작도 가능한 수들의 집합은 하나의 체를 이룬다.

정의

고정된 좌표계가 주어진 (혹은 단위 길이의 선분이 주어진) 유클리드 평면 위의 점이 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 사용하여 작도할 수 있을 때 그 점을 작도 가능하다고 한다. 좌표계에서 어떤 복소수에 대응하는 점이 작도 가능할 때 그 수를 작도 가능한 수라고 한다. 다른 정의로, 단위 길이의 선분이 주어졌을 때 $\left|r\right|$의 길이를 가지는 선분을 눈금 없는 자와 컴퍼스만 가지고 작도할 수 있을 때 실수 $r$은 작도 가능하며, 실수부와 허수부가 모두 작도 가능한 복소수는 작도 가능하다고 할 수 있다.

같이 보기

• 작도
• 십칠각형
• 컴퍼스와 자 작도