전기 쌍극자 모멘트 (電氣雙極子moment, electric dipole moment )는 물리학 에서 전하 로 이루어진 계 의 극성 을 재는 척도의 하나이다. 전기 쌍극자 모멘트를 가진 계를 전기 쌍극자 (電氣雙極子, electric dipole )라고 부른다.
+
q
{\displaystyle +q}
−
q
{\displaystyle -q}
전기 쌍극자 모멘트
p
{\displaystyle p}
p
=
q
r
{\displaystyle \mathbf {p} =q\,\mathbf {r} }
여기서
r
{\displaystyle r}
일반적으로,
N
{\displaystyle N}
q
i
{\displaystyle q_{i}}
p
{\displaystyle p}
p
=
∑
i
=
1
N
q
i
r
i
{\displaystyle \mathbf {p} =\sum _{i=1}^{N}q_{i}\,\mathbf {r} _{i}}
여기서 r i 는 어느 기준점으로부터 각 점전하를 가리키는 변위 벡터이다. 여기서 p 의 값은 계가 전기적으로 중성일 때, 즉, 계의 전하량이 0일 때, 아무 기준점으로부터나 계산해도 값이 변하지 않는다. N = 2일 경우, 위의 경우와 같은 값을 얻는다.
연속적으로 전하가 분포할 때는 다음과 같이 전기 쌍극자 모멘트 p 를 정의한다.
p
=
∫
V
r
d
q
=
∫
V
ρ
(
r
)
r
d
V
{\displaystyle \mathbf {p} =\int _{V}\mathbf {r} \,dq=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )\mathbf {r} dV}
여기서
r i : 어느 기준점으로부터의 변위 벡터V : 전하가 분포하는 전체 공간
ρ(r ) : 전하의 분포를 나타내는 전하 밀도 함수
dq : 전하 요소
dV : 부피 요소 이다.
알짜 전하가 0인 계 의 경우 전기 쌍극자 모멘트는 기준점에 관계하지 않지만, 알짜 전하가 0이 아닌 경우에는 전기 쌍극자 모멘트는 기준점에 따라 달라진다. 이런 경우에는 통상적으로 질량 중심 을 기준점으로 삼는다.
예를 들어, 한 쌍의 전하량 이 서로 반대인 두개의 전하 또는 전기적으로 중성인 도체 가 균일한 전기장 속에 있다 하자. 이런 계 의 경우 알짜 전하가 0이므로 쉽게 쌍극자 모멘트를 구해 전기장을 구하거나, 라플라스 방정식 을 풀어 쉽게 계를 이해할 수 있다. 하지만 양성자 나 전자 따위의 전기 쌍극자 모멘트 를 계산할 경우에는 질량 중심 을 기준으로 잡아야 한다.
주어진 기준점에 대하여 전기 쌍극자 모멘트
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
돌림힘
τ
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}
τ
=
p
×
E
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {p} \times \mathbf {E} }
유도
q
{\displaystyle q}
−
q
{\displaystyle -q}
d
{\displaystyle d}
전기장
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
각도 를
θ
{\displaystyle \theta }
F
=
q
E
{\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} }
에 의해 쌍극자는 돌림힘
τ
=
2
⋅
(
r
×
F
)
=
d
F
sin
θ
τ
^
=
d
q
E
sin
θ
τ
^
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=2\cdot (\mathbf {r} \times \mathbf {F} )=dF\sin \theta {\hat {\boldsymbol {\tau }}}=dqE\sin \theta {\hat {\boldsymbol {\tau }}}}
를 받아 회전한다. 그런데 전기 쌍극자 모멘트는
p
=
q
d
{\displaystyle \mathbf {p} =q\mathbf {d} }
τ
=
p
E
sin
θ
τ
^
=
p
×
E
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=pE\sin \theta {\hat {\boldsymbol {\tau }}}=\mathbf {p} \times \mathbf {E} }
가 된다.
이 돌림힘은 다음과 같은 위치 에너지 로 나타낼 수 있다.
U
=
−
p
⋅
E
{\displaystyle U=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {E} }
즉 쌍극자가 전기장과 같은 방항을 가리키는 경우 전기적 위치 에너지 가 최소이고, 반면 쌍극자가 전기장의 반대 방향을 가리키면 전기적 위치 에너지가 최대다. 이에 따라, 다른 외부 힘이 없다면 쌍극자는 전기장의 같은 방향으로 정렬한다.
전기 쌍극자 모멘트
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
F
=
(
p
⋅
∇
)
E
{\displaystyle \mathbf {F} =(\mathbf {p} \cdot \nabla )\mathbf {E} }
유도
q
{\displaystyle q}
−
q
{\displaystyle -q}
d
{\displaystyle d}
전기장
E
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} )}
+
q
{\displaystyle +q}
x
+
r
{\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {r} }
−
q
{\displaystyle -q}
+
x
{\displaystyle +x}
F
=
q
E
(
x
+
r
)
−
q
E
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} (\mathbf {x} +\mathbf {r} )-q\mathbf {E} (\mathbf {x} )}
이를 정리하고,
r
→
0
{\displaystyle \mathbf {r} \to 0}
F
=
q
(
E
(
x
+
r
)
−
E
(
x
)
)
=
q
(
E
′
(
x
)
⋅
r
)
{\displaystyle \mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} (\mathbf {x} +\mathbf {r} )-\mathbf {E} (\mathbf {x} )\right)=q(\mathbf {E} '(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {r} )}
가 된다. 그런데 다변수 함수
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
E
=
∂
E
(
x
,
y
,
z
)
∂
(
x
,
y
,
z
)
=
(
∂
E
x
∂
x
∂
E
x
∂
y
∂
E
x
∂
z
∂
E
y
∂
x
∂
E
y
∂
y
∂
E
y
∂
z
∂
E
z
∂
x
∂
E
z
∂
y
∂
E
z
∂
z
)
{\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {\partial \mathbf {E} (x,y,z)}{\partial (x,y,z)}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \mathbf {E} _{x}}{\partial x}}&{\frac {\partial \mathbf {E} _{x}}{\partial y}}&{\frac {\partial \mathbf {E} _{x}}{\partial z}}\\{\frac {\partial \mathbf {E} _{y}}{\partial x}}&{\frac {\partial \mathbf {E} _{y}}{\partial y}}&{\frac {\partial \mathbf {E} _{y}}{\partial z}}\\{\frac {\partial \mathbf {E} _{z}}{\partial x}}&{\frac {\partial \mathbf {E} _{z}}{\partial y}}&{\frac {\partial \mathbf {E} _{z}}{\partial z}}\end{pmatrix}}}
임을 이용하여 정리하면 다음과 같은 꼴이 나옴을 알 수 있다.
F
=
(
p
⋅
∇
)
E
{\displaystyle \mathbf {F} =(\mathbf {p} \cdot \nabla )\mathbf {E} }
또한 임의의 지점에 대한 돌림힘은 다음과 같이 나타내어진다.
τ
=
p
×
E
+
r
×
F
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {p} \times \mathbf {E} +\mathbf {r} \times \mathbf {F} }
시간에 따라 일정한 전기 쌍극자 모멘트
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
전위
ϕ
(
r
)
{\displaystyle \phi (\mathbf {r} )}
ϕ
(
r
)
=
p
⋅
r
^
4
π
ϵ
0
r
2
{\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}}
여기서
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
r
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
단위 벡터 이다.
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}}
유전율 이다.
따라서 전기 쌍극자의 전기장
E
(
r
)
{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )}
E
(
r
)
=
−
∇
ϕ
=
3
(
p
⋅
r
^
)
r
^
−
p
4
π
ϵ
0
r
3
{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\nabla \phi ={\frac {3(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {p} }{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}}
시간에 따라 그 모멘트가 바뀌는 전기 쌍극자
p
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {p} (t)}
뒤처진 퍼텐셜 을 고려하여야 하므로 더 복잡하다. 전위 는 다음과 같다.
ϕ
(
r
,
t
)
=
(
p
(
t
ret
)
+
p
˙
(
t
ret
)
r
/
c
)
⋅
r
^
4
π
ϵ
0
r
2
{\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,t)={\frac {(\mathbf {p} (t_{\text{ret}})+{\dot {\mathbf {p} }}(t_{\text{ret}})r/c)\cdot {\hat {\mathbf {r} }}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}}
여기서
t
ret
=
t
−
r
/
c
{\displaystyle t_{\text{ret}}=t-r/c}
p
=
p
0
cos
(
ω
t
)
{\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} _{0}\cos(\omega t)}
r
≫
c
/
ω
{\displaystyle r\gg c/\omega }
ϕ
(
r
,
t
)
=
−
p
0
sin
(
ω
t
ret
)
⋅
r
^
4
π
ϵ
0
c
r
{\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\mathbf {p} _{0}\sin(\omega t_{\text{ret}})\cdot {\hat {\mathbf {r} }}}{4\pi \epsilon _{0}cr}}}
시간에 따라 그 모멘트가 바뀌는 전기 쌍극자
p
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {p} (t)}
자기장 을 발생시킨다. 이는 쌍극자를 한 쌍의 점전하로 간주하여 한 점전하에서 다른 점전하로 전류 가 흐르는 것으로 해석할 수 있다. 즉, 쌍극자의 크기가
d
{\displaystyle d}
p
(
t
)
=
q
(
t
)
d
{\displaystyle \mathbf {p} (t)=q(t)d}
I
=
q
˙
=
p
/
d
{\displaystyle I={\dot {q}}=p/d}
따라서 시간에 따라 바뀌는 전기 쌍극자의 벡터 퍼텐셜 은 다음과 같다.
A
(
r
,
t
)
=
μ
0
p
˙
(
t
ret
)
4
π
r
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}{\dot {\mathbf {p} }}(t_{\text{ret}})}{4\pi r}}}
전기 쌍극자 복사 (電氣雙極子輻射, electric dipole radiation )란 시간에 따라 크기가 바뀌는 전기 쌍극자가 방출하는 복사 전자기파 다.
쌍극자
p
=
p
0
cos
(
ω
t
)
{\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} _{0}\cos(\omega t)}
뒤처진 퍼텐셜 은 다음과 같다.
ϕ
(
r
,
t
)
=
−
p
0
⋅
r
^
sin
(
ω
(
t
−
r
/
c
)
)
4
π
ϵ
0
c
r
{\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\mathbf {p} _{0}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}\sin(\omega (t-r/c))}{4\pi \epsilon _{0}cr}}}
A
(
r
,
t
)
=
p
0
ω
4
π
ϵ
0
r
sin
(
ω
(
t
−
r
/
c
)
)
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mathbf {p} _{0}\omega }{4\pi \epsilon _{0}r}}\sin(\omega (t-r/c))}
따라서 그 원거리 (
O
(
1
/
r
)
{\displaystyle O(1/r)}
전자기장 은 다음과 같다.
B
=
ω
2
4
π
ε
0
c
3
r
(
r
^
×
p
)
cos
(
ω
(
t
−
r
/
c
)
)
/
r
{\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\omega ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}r}}({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} )\cos(\omega (t-r/c))/r}
E
=
c
B
×
r
^
{\displaystyle \mathbf {E} =c\mathbf {B} \times {\hat {\mathbf {r} }}}
그 포인팅 벡터 는 다음과 같다.
S
=
1
μ
0
E
×
B
=
μ
0
ω
4
32
π
2
c
r
2
r
^
{\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}\omega ^{4}}{32\pi ^{2}cr^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}}
이를 모든 입체각 에 대하여 적분하면 전기 쌍극자 방사의 일률
P
{\displaystyle P}
P
=
∮
4
π
S
d
Ω
=
μ
0
ω
4
p
0
2
12
π
c
{\displaystyle P=\oint _{4\pi }S\,d\Omega ={\frac {\mu _{0}\omega ^{4}p_{0}^{2}}{12\pi c}}}
이는 쌍극자에 대한 라모 공식 과 같다.
