군론에서 클라인 부분군(Klein部分群, 영어: Kleinian subgroup)은 의 이산 부분군이다.[1]
복소수 계수 2차원 사영 선형군 를 생각하자. 이는 다음과 같이 여겨질 수 있다.
- 3차원 쌍곡 공간 의 (방향을 보존하는) 등거리 변환의 군이다.
- 3차원 열린 공 의 (방향을 보존하는) 등각 변환의 군이다.
의 부분군 이 다음 두 조건을 만족시킨다면, 클라인 부분군이라고 한다.
- 임의의 의 안정자군 은 유한군이다.
- 임의의 의 궤도 는 (의 부분 공간으로서) 이산 공간이다.
열린 공 의 ( 속에서의) 폐포 를 생각하자. 및 모든 클라인 부분군은 위에 자연스럽게 작용한다.
경계
를 무한구(영어: sphere at infinity)라고 한다. (이 구는 3차원 쌍곡 공간의 “무한”에 있는 것으로 여겨질 수 있다.) 클라인 부분군 는 그 위에 작용한다. 임의의 점 의 궤도
의 응집점의 집합을 의 극한 집합(영어: limit set)이라고 한다.
클라인 부분군 이 주어졌다고 하자. 그 극한 집합 을 생각하자. 만약 가 의 유한 생성 부분군이라면,
는 리만 곡면의 유한형 오비폴드이다.
펠릭스 클라인[2]과 앙리 푸앵카레가 1883년에 도입하였다.[3] “클라인 부분군”(프랑스어: groupe kleinéen)이라는 이름은 앙리 푸앵카레가 같은 논문에서 사용하였다.
자명군은 자명하게 클라인 부분군이다.
양의 제곱 인수가 없는 정수 에 대하여, 허수 이차 수체 의 대수적 정수환 이 주어졌을 때,
는 클라인 부분군이다. 이러한 클라인 부분군을 비안키 군(영어: Bianchi group)이라고 한다.
임의의 가향 쌍곡 3차원 다양체의 기본군은 클라인 부분군이다. 어떤 쌍곡 3차원 다양체 의 기본군 이 클라인 부분군 과 (군으로서) 동형일 때, 은 와 미분 동형이다. 이 경우, 를 의 클라인 모형(영어: Kleinian model)이라고 한다.
- ↑ Bers, Lipman; Kra, Irwin, 편집. (1974), 《A crash course on Kleinian groups》, Lecture Notes in Mathematics 400, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0065671, MR 0346152
- ↑ Klein, Felix (1883). “Neue Beiträge zur Riemann’schen Functionentheorie”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 21 (2): 141–218. doi:10.1007/BF01442920. ISSN 0025-5831. JFM 15.0351.01.
- ↑ Poincaré, Henri (1883). “Mémoire sur Les groupes kleinéens”. 《Acta Mathematica》 (프랑스어) 3: 49–92. doi:10.1007/BF02422441. ISSN 0001-5962. JFM 15.0348.02.