팽창 (형태학)
팽창 (보통 ⊕로 나타낸다)은 수학적 형태학의 기본 연산 중 하나이다. 원래는 이진 이미지를 위해서 개발되었다, 이것은 처음에 회색조 이미지로 확장되었으며, 완비 격자로 확장되었다. 팽창 연산은 보통 입력 이미지에 포함된 모양을 탐색하는 것과 확장하는 것을 위해서 구조적 요소를 이용한다.
이진 팽창
[편집]이진 형태학에서, 팽창은 이동-불변(병진 불변) 연산자이며, 민코프스키 덧셈과 동등하다.
이진 이미지는 수학적 형태학에서 유클리드 공간 Rd 또는 어떤 d차원의 정수 격자 Zd의 부분집합으로 볼 수 있다. E를 유클리드 공간이나 정수 격자라 하고, A를 E의 이진 이미지라 하고, B를 Rd의 부분집합에 관련이 있는 구조적 요소라고 하자.
A를 B로 팽창시킨 것은 다음과 같이 정의된다:
여기서 Ab는 A를 b로 평행이동 시킨 것이다.
팽창은 가환 연산이기 때문에 다음과 같이 쓸 수 있다: .
B가 원점을 중심으로 두고 있다면, A를 B로 팽창시킨 것은 B의 중심이 A의 내부에서 움직일 때 B에 있는 점들의 궤적으로 이해할 수 있다. 크기가 10이고 원점에 중심을 둔 정사각형을 마찬가지로 원점을 중심으로 둔 반지름이 2인 원판으로 팽창시키면 원점을 중심으로 하고 꼭짓점이 둥근 크기가 14인 정사각형이 된다. 둥근 꼭짓점의 반지름은 2이다.
팽창은 다음을 통해서도 얻을 수 있다: , 이 때 Bs는 B의 대칭이다. 즉, 이다.
예시
[편집]A를 다음의 11 x 11 행렬이라고, 그리고 B를 다음의 3 x 3 행렬이라고 하자:
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A의 모든 픽셀에 대해서 , B의 중심을 삽입(superimpose)하자.
B의 모든 삽입된 픽셀은 B에 대한 A의 팽창에 포함된다.
B에 대한 A의 팽창은 이 11 x 11 행렬로 주어진다.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0
이진 팽창의 특성
[편집]다음은 이진 팽창 연산의 특성이다
- 이것은 병진 불변이다.
- 이것은 단조증가한다. 다시 말하면, 이면, 이다.
- 이것은 가환 연산이다.
- E의 원점이 구조적 요소 B에 있으면, 이것은 확장적이다. 즉, 이다.
- 이것은 결합법칙을 만족한다. 즉, 이다.
- 이것은 합집합에서 분배법칙이 성립한다.
회색조 연산
[편집]회색조 형태학에서, 이미지는 유클리드 공간이나 격자 E에서 로 맵핑되는 함수이다. 여기서 은 실수의 집합이고, 은 어떤 실수 보다 큰 수이고, 은 어떤 실수 보다 작은 수이다.
회색조 구조적 요소는 같은 형태의 "구조적 함수"라고 불리는 함수이다.
이미지를 f(x)로 나타내고 구조적 함수를 b(x)하고 나타내면, b에 대한 f의 회색조 팽창은 다음과 같이 주어진다:
이 때, "sup"은 상한을 의미한다.
단순한 구조적 함수
[편집]형태학적 적용에서 단순한 구조적 요소를 사용하는 것은 흔한 일이다. 단순한 구조적 함수는 다음의 형태를 가지는 함수 b(x)이다:
여기서 이다.
이 경우에, 확장은 매우 단순화 되고, 다음으로 주어진다:
(x = (px, qx), z = (pz, qz)라고 가정하면, x − z = (px − pz, qx − qz)이다.)
유계, 이산 경우에(E가 격자이고 B가 유계이면), 상한 연산자는 최대값으로 바꿀 수 있다. 따라서, 확장은 순서통계량 필터의 특정한 경우로, 움직이는 창(구조적 함수릐 지지 B의 대칭)에 있는 원소 중 최대값을 반환한다.
완비 격자에서 팽창
[편집]완비격자는 모든 부분집합이 상한과 하한을 가지는 부분 순서 집합이다. 특히, 이것은 최소 원소와 최대 원소를 포함한다 ("universe"라고도 불린다).
를 상한과 하한이 각각 와 으로 기호화된 완비 격자라고 하자. 이것의 전체 집합과 최소 원소는 각각 U와 로 기호화되어 있다. 더 나아가서, let 를 L에 있는 원소의 모임으로 두자.
팽창은 상한에 분포하는 어떤 연산자 이고, 최소 원소를 보존한다:
같이 보기
[편집]서지학
[편집]- Image Analysis and Mathematical Morphology by Jean Serra, ISBN 0-12-637240-3 (1982)
- Image Analysis and Mathematical Morphology, Volume 2: Theoretical Advances by Jean Serra, ISBN 0-12-637241-1 (1988)
- An Introduction to Morphological Image Processing by Edward R. Dougherty, ISBN 0-8194-0845-X (1992)