Adiabatinis procesas

Izotermių (pilka spalva), adiabatės (žalia spalva) ir adiabatės atliekamas darbas (melsvas plotas) p-V diagramoje.

Adiabatinis procesas – termodinaminis procesas, kurio metu tarp sistemos ir aplinkos nevyksta šilumos mainai. Šio proceso metu vidinės energijos pokytį sukelia tik sistemos atliktas darbas. Adiabatinis procesas paprastai vyksta tuomet, kai visa sistema yra izoliuota nuo aplinkos arba tuomet, kai procesas vyksta labai greitai ir tik labai maža dalis energijos perduodama šilumos pavidalu. Pirmasis termodinamikos dėsnis:

$\Delta U=Q-A$

čia $\Delta U$ – sistemos vidinės energijos pokytis, $Q$ – sistemai suteiktas šilumos kiekis, $A$ – sistemos atliktas darbas. Iš adiabatinio proceso apibrėžimo žinome, jos šilumos mainai su aplinka nevyksta, todėl $Q=0$. Taip gauname pirmąjį termodinamikos dėsnį adiabatiniam procesui:

$\Delta U=-A$

Adiabatinis dujų plėtimasis ir adiabatinis dujų slėgimas

Dujoms adiabatiškai plečiantis slėgis mažėja greičiau nei izoterminio proceso metu, nes slėgis mažėja ne tik dėl padidėjusio tūrio, bet ir dėl krentančios temperatūros. Adiabatiškai slegiant dujas slėgis didėja greičiau nei izoterminio proceso metu, nes ne tik mažėja tūris, bet ir didėja temperatūra.

Idealiosios dujos

Politropės lygtis

Adiabatiniam procesui idealiųjų dujų atveju galioja politropės lygtis:

$pV^{\gamma }=const$

čia $\gamma$ – politropės rodiklis, adiabatinio proceso atveju vadinamas adiabatės rodikliu . Adiabatinio proceso atveju $\gamma ={\frac {C_{p}}{C_{v}}}$. $C_{p}$ yra savitoji (molinė) šiluma esant pastoviam slėgiui (žr. izobarinis procesas), o $C_{v}$ yra savitosios (molinės) šiluma esant pastoviam tūriui (žr. izochorinis procesas).

Politropės rodiklio radimas

Pirmasis termodinamikos dėsnis adiabatiniam procesui:

$\Delta U=-A\qquad (1)$

Dujoms sutekiame nykstamai mažą tūrio pokytį $dV$. Jį atitiks temperatūros pokytis $dT$, o dujų atliktas darbas bus $dA=pdV$. Idealiųjų dujų atveju vidinė energija priklauso tik nuo temperatūros, todėl vidinės energijos pokytis adiabatinio plėtimosi metu bus toks pat kaip ir izochorinio proceso metu, jei pradinės ir galinės temperatūros bus tokios pačios. Taigi gauname:

$dU=nC_{v}dT=pdV\qquad (2)$

čia $n$ – medžiagos kiekis moliais.

Diferencijuojant idealiųjų dųjų būsenos lygtį $pV=nRT$ gauname:

$pdV+Vdp=nRdT\qquad (3)$

Pašaliname $dT$ pasinaudodami (1) ir (2) formules ir gauname:

$pdV+Vdp=-{\frac {R}{C_{v}}}pdT\quad (4)$

čia R – universalioji dujų konstanta. (4) lygtį padalinus iš $pV$ ir pasidaudoję Majerio sąryšiu $R=C_{p}-C_{v}$ gauname:

${\frac {dV}{V}}+{\frac {dp}{p}}=-{\bigg (}{\frac {C_{p}-C_{v}}{C_{v}}}{\bigg )}{\frac {dV}{V}}=(1-\gamma ){\frac {dV}{V}}\qquad (5)$

${\frac {dp}{p}}+\gamma {\frac {dV}{V}}=0\qquad (6)$

Suintegravus gauname:

$\ln p+\gamma \ln V=const\qquad (7)$

Panaikinus logaritmus gauname:

$pV^{\gamma }=const\qquad (8)$

Adiabatės rodiklis skirtingoms dujoms

Adiabatės rodiklis apskaičiuojamas pagal formulę:

$\gamma ={\frac {C_{p}}{C_{v}}}\qquad (1)$

Savitąsias molines šilumas $C_{p}{\text{ ir }}C_{v}$ rasime pagal formules:

$C_{v}={\frac {i}{2}}R\qquad (2)$

$C_{p}=C_{v}+R\qquad (3)$

kur $i$ - laisvės laipsnių skaičius.

Panaudojus (1), (2) ir (3) formules gauname:

$\gamma ={\frac {i+2}{i}}$

Taigi vienatomėms idealiosioms dujoms adiabatės rodiklis bus $\gamma ={\frac {5}{3}}$, o dviatomėms dujoms - $\gamma ={\frac {7}{3}}$. Matome, kuo sudėtingesnė dujų molekulė, tuo mažesnis bus adiabatės koeficientas, nes sudėtingesnė dujų molekulė turi daugiau laisnės laipsnių, kuriems tenka energija.

Darbas adiabatinio proceso metu

Darbas adiabatinio proceso apskaičiuojamas pagal formulę:

$A={\frac {p_{2}V_{2}-p_{1}V_{1}}{1-\gamma }}$

čia $p_{1},V_{1}{\text{ - pradinės, o }}p_{2},V_{2}$ – galinės proceso sąlygos – slėgis ir tūris.

Išvedimas

Darbą vykstant adiabatiniam procesui rasime pasinaudodami darbo formulę:

$A=\int _{V_{1}}^{V_{2}}p\ dV\qquad (1)$

naudojame anksčiau išsivestą politropės lygtį adiabatiniam procesui:

$pV^{\gamma }=const=p_{1}V_{1}^{\gamma }\qquad (2)$

čia $p_{1}$ – pradinis slėgis ir $V_{1}$ – pradinis tūris.

iš (2) lygties išsireiškiame slėgį ir įsirašome į (1) formulę:

$A=\int _{V_{1}}^{V_{2}}p_{1}{\bigg (}{\frac {V_{1}}{V}}{\bigg )}^{\gamma }\ dV\qquad (3)$

suintegravus ir įsistačius rėžius gauname:

$A=p_{1}V_{1}^{\gamma }{\frac {V_{2}^{1-\gamma }-V_{1}^{1-\gamma }}{1-\gamma }}={\frac {p_{2}V_{2}-p_{1}V_{1}}{1-\gamma }}$