Analiza harmonike

Analiza harmonike është dega e matematikës që studion paraqitjen e funksioneve apo sinjaleve si mbi vendosje e funksioneve bazë. Ajo heton dhe përgjithëson nocionet e serive të Furierit dhe transformimit të Furierit. Funksionet bazë quhen "harmonika" (në fizikë), prej nga rrjedh edhe emri "analiza harmonike", emri "harmonikë" në këtë kontekst është përgjithësuar përtej kuptimit të tij origjinal si faktor i shumëfishte i frekuencës. Në dy shekujt e kaluar, analiza harmonike është transformuar në një temë të gjerë me zbatime në fusha të ndryshme si në degën e përpunimit te sinjaleve, mekaniken kuantike, dhe në neurologji.

Transformimi klasik i Furierit në Rⁿ është ende një zonë kërkimesh të vazhdueshme. Për shembull, nëse vendosim disa kërkesa në një distribucion f, problemi mund të kërkojë për të përkthyer këto kërkesa në terma të transformimit të Furierit në f. Teorema Paley-Wiener është një shembull i kësaj. Teorema Paley-Wiener menjëherë nënkupton se në qoftë se f është një shpërndarje jo-zero e një mbështetje kompakte (këto përfshijnë funksione me mbështetje kompakte), atëherë transformimi i Furierit i saj nuk mbështetet në mënyrë kompakte. Kjo është një formë shumë elementare e një parimi të papërcaktueshmërisë e studiuar me anë të analizës harmonike. Shikoni gjithashtu artikullin mbi Konvergjencën e serive të Furierit. Seritë e Furierit zakonisht studiohen në kontekstin e Hapësirës së Hilbertit e cila çon në një lidhje të natyrshme midis analizvs harmonike dhe analizës funksionale.

Analiza harmonike abstrakte

Një nga degët më moderne të analizës harmonike, që ka rrënjët e saj në mesin e shekullit XX, është analiza e grupeve topologjike. Ideja bazë motivuese janë transformimet e ndryshme, të cilat mund të përgjithësohen në transformimin e funksioneve te përcaktuar në grupe topologjike Hausdorff të cilat janë lokalisht kompakte.

Teoria për grupe kompakte lokale abeliane quhet dualiteti i Pontryagin, ajo konsiderohet të jetë në një gjendje të kënaqshme, ^{[nevojitet citimi]} sepse shpjegon karakteristikat kryesore të analizës harmonike.

Analiza harmonike studion vetitë e atij dualiteti dhe transformimit të Furierit dhe përpiqet për të zgjeruar këto karakteristika tek cilësimet te ndryshme, për shembull në rastin e grupeve Lie jo-abelian.

Për grupe kompakte lokale joabeliane të përgjithshme, analiza harmonike është e lidhur ngushtë me teorinë e përfaqësimit të grupit unitar. Për grupet kompakte, Teorema Peter-Weyl shpjegon se si mund të marrim një harmonike duke zgjedhur një përfaqësim të parreduktueshëmm nga çdo klasë ekuivalence e përfaqësimit. Kjo zgjedhje e harmonikave gëzon disa të veti të dobishme te transformimit klasik te Furierit në lidhje me kryerjen e konvulimeve për produktet pikësore, ose ndryshe tregon një kuptim të caktuar themelor të strukturës së grupit.

Nëse grupi nuk është as abelian as kompakt, nuk ka teori të kënaqshme të përgjithshme te njohur deri tani. Nga "të kënaqshme", duhet kuptuar të paktën ekuivalente me teoremën e Plansharelit. Megjithatë, shumë raste të veçanta janë analizuar, për shembull SL_n. Në këtë rast, rezulton se paraqitja në dimensionin të pafundme luan një rol vendimtar.

Degë të tjera

Studimi i ajgenvlerave dhe ajgenvektorit te operatorit Laplasian në fusha, manifolde, dhe (në një kontekst më të vogël) ne teorinë e grafeve është konsideruar një degë e analizës harmonike. Shikoni artikulli mbi dëgjimini e formës së daulles.
Analiza harmonike në hapësira Euklidiane merret me vetitë e transformimit të Furierit në Rⁿ që nuk kanë analoge në grupe të përgjithshme. Për shembull, fakti se Transformimi i Furierit është invariant ndaj rrotullimeve. Dekompozimi i transformimit të Furierit në komponentët e tij radiale dhe sferike çon në tema të tilla si funksionet Bezel si dhe tekharmonikat sferike.
Analiza harmonike në fusha cilindrike ka të bëjë me vetitë e përgjithësuara të hapësirave të Hardit në dimensione më të larta.

Shikoni gjithashtu

Referime

Elias M. Stein and Guido Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971. ISBN 0-691-08078-X
Yitzhak Katznelson, An introduction to harmonic analysis, Third edition. Cambridge University Press, 2004. ISBN 0-521-83829-0; 0-521-54359-2
Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag.