Aritmetický priemer

Aritmetický priemer (${\bar {x}}$), často len priemer alebo staršie aritmetický stred, je najjednoduchší druh priemeru.

Aritmetický priemer základného súboru $\mu$

Pre základný súbor (teda všetky hodnoty štatistického súboru) sa aritmetický priemer počíta podľa vzorca:

$\mu ={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}={\frac {x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}}$

kde n je rozsah základného súboru. To znamená, že súčet hodnôt všetkých prvkov súboru sa vydelí celkovým počtom prvkov súboru. Aritmetický priemer môže mať i neceločíselnú hodnotu.

Príklad

Pre zistenie aritmetického priemeru čísel 5, 6 a 7 je potrebné najprv zistiť súčet všetkých čísel (5 + 6 + 7 = 18). Súčet je potom nutné vydeliť počtom čísel (v tomto prípade 3), čo znamená 18 / 3 = 6. Aritmetický priemer čísel 5, 6 a 7 je teda 6.

Výberový aritmetický priemer

Pre výberový súbor (teda výber hodnôt štatistického súboru) sa aritmetický priemer počíta nasledovne.

Nespracované dáta

Pre nespracované dáta, ktoré nie sú v skupinách, je aritmetický priemer súčtom všetkých hodnôt vydelený počtom všetkých hodnôt.

${\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}={\frac {x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}}$

kde $x_{i}$ sú jednotlivé hodnoty, n je celkový počet hodnôt výberu.

Vážený aritmetický priemer

Pre dáta rozdelené do podskupín, ktorých absolútne frekvencie sú známe, môžeme použiť aj vážený aritmetický priemer, ktorého váhy sú relatívne frekvencie.

Pre množinu čísel $x_{1}.x_{2}....x_{n}$ s odpovedajúcimi váhami $w_{1}.w_{2}....w_{n}$ sa vážený aritmetický priemer vypočíta podľa vzťahu

${\bar {x}}_{w}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}w_{i}}{w_{i}}}={\frac {x_{1}.w_{1}+x_{2}.w_{2}+...+x_{n}.w_{n}}{w_{1}+w_{2}+...+w_{n}}}$

Príklad

Známky z matematiky v určitej triede sú uvedené v tabuľke. Zaujíma nás, aká je priemerná známka.

Známka	1	2	3	4	5
Počet žiakov s danou známkou	14	6	5	4	1

Vážený priemer sa potom spočíta podľa vyššie uvedeného vzťahu:

$x_{w}={\frac {1\times 14+2\times 6+3\times 5+4\times 4+5\times 1}{14+6+5+4+1}}={\frac {62}{30}}=2.0{\bar {6}}$

Priemerná známka je vážený priemer súboru, teda 2,07.

Vlastnosti

• Každá množina intervalových a podielových dát má aritmetický priemer
• Priemer sa počíta zo všetkých hodnôt
• $\sum \left(x_{i}-{\bar {x}}\right)=0$
• $n.{\bar {x}}=\sum x_{i}$
• ${\bar {x}}$ je citlivý na neobyčajne malé alebo veľké hodnoty
• ${\bar {x}}$ je citlivý na hrubé chyby
• Aritmetický priemer by sa nemal brať do úvahy, ak
  • je štatistické rozdelenie dát viacvrcholové
  • je štatistické rozdelenie dát asymetrické

Referencie

Matematický portál