Azpimultzo

Matematikan, bereziki multzo-teorian, azpimultzoa multzo bateko zenbait elementuz osatutako edozein multzoa da.

Definizioa

Izan bitez A eta B bi multzo non A-ren elementu bakoitza B-ren elementua ere den. Orduan:

A B-ren azpimultzoa da, eta A ⊆ B adierazten da

B A-ren gainmultzoa da, eta B ⊇ A adierazten da

Azpimultzoen arteko diferentzia, multzo baten barnean eta bestean ez dauden elementuek osatzen dute.

Azpimultzo propioa

Jatorrizko multzoaren osaera bera ez duen azpimultzoa.

Izan bedi A B-ren azpimultzo bat ezen A ≠ B baita. Orduan esaten da A B-ren azpimultzo propio bat dela, eta A ⊊ B adierazten da.
(Era berean, esaten da B A-ren gainmultzo propio bat dela, B ⊋ A)

A ⊂ B eta B ⊃ A notazioak ere erabiltzen dira, baina haiek azpimultzoa adieraz dezakete, A ⊆ B eta B ⊇ A; edo azpimultzo propio, A ⊊ B eta B ⊋ A.

Ezaugarriak

A multzoa B multzoaren azpimultzoa da baldin eta soilik baldin haien ebakidura A bada.

A\subseteq B\iff A\cap B=A

A multzoa B multzoaren azpimultzoa da baldin eta soilik baldin haien bildura B bada.

A\subseteq B\iff A\cup B=B

Propietateak

Azpimultzo hutsa ∅ bezala adierazten da, multzo guztien azpimultzoa da. Izan ere, « ∅-k ez du elementurik An dagoena» eta «∅-ko elementu guztiak Akoak dira» esanahi berdina dute. Hau edozein An gertatzen da, ∅k ez baitu elementurik.
A multzoko elementuak B multzoan badaude, eta Bko elementu guztiak C multzoan badaude, Ako elementuak C multzoaren barnean daude. Hau da, A Bren azpimultzoa bada, eta B Cren azpimultzoa bada, orduan A Cren azpimultzoa da.
Bi multzo elkarren azpimultzo badira, hau da, Ako elementu guztiak Bn badaude eta Bko elementu guztiak An badaude, bi multzoek elementu berdinak dituzte. Beste modu batera esanda, A Bren azpimultzoa bada, eta B Aren azpimultzoa bada, orduan A=B