Basilejský problém

Basilejský problém se ptá na součet nekonečné řady převrácených hodnot čtverců přirozených čísel:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots =1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+\cdots .

Jde o otázku z oboru matematické analýzy, jejíž odpověď výrazně pomohla teorii čísel. Problém formuloval Pietro Mengoli roku 1650; a protože evropské matematiky na tuto otázku upozornil basilejský profesor matematiky Jacob Bernoulli, říká se mu basilejský problém. Vyřešil ho 28letý Leonard Euler v roce 1735 a ukázalo se, že výsledek je

${\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1{,}6449340668482264364724151666460251892189499012067984377355582293\dots$

Řešení tohoto problému mělo významný dopad na další vývoj matematické analýzy, na teorii čísel a později i na komplexní analýzu. Nakonec se řada inverzních čtverců ukázala jako první krok k zavedení Riemannovy funkce zeta. Sám Euler zahájil tuto cestu zavedením zobecnění řady pro libovolnou sudou mocninu s, a také odvozením identity se součinem nekonečné řady obsahující všechna prvočísla:

$\zeta (s)={\frac {1}{1-{\frac {1}{2^{s}}}}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{3^{s}}}}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{5^{s}}}}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{7^{s}}}}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{11^{s}}}}}\dots =\prod _{p}(1-p^{-s})^{-1}$

Historie

Historici poprvé objevili úvahy o řadě převrácených hodnot čtverců v disertační práci italského matematika Pietra Mengoliho (Novae quadraturae arithmeticae seu de additione fractionum, 1644, publikováno v roce 1650), ale problém tehdy ještě nevzbudil obecný zájem. Mengoli určil, že řada konverguje, a našel součet prvních 10 členů.

${\frac {1968329}{1270080}}\approx 1{,}54977$

Později se mnoho vynikajících matematiků (včetně Leibnize, Stirlinga, de Moivra, Christiana Goldbacha, bratrů Jacoba a Johanna Bernoulliho) neúspěšně snažilo najít součet. Podařilo se jim vypočítat několik platných cifer součtu řady. Goldbach ukázal, že součet je obsažen v intervalu (41/25; 5/3), Stirling v pojednání „Methodus Differentialis“ (1730) dokázal vypočítat poměrně přesnou hodnotu součtu: 1,644934066, ale nikdo nedokázal přesně určit, co tato hodnota znamená.

Euler byl první, kdo dosáhl úspěchu - téměř půl století po Bernoulliho zveřejnění. S největší pravděpodobností o tomto problému Eulerovi řekl Jacobův bratr Johann Bernoulli. Euler informoval o svém objevu v poznámce „O sumách inverzní řady“ (De summis serierum reciprocarum, 1735) pro časopis „Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae“ petrohradské Akademie věd. Hodnotu výsledku součtu řady, který našel, uvedl také Euler v dopise svému příteli Danielovi Bernoullimu, synovi Johanna Bernoulliho:

Nedávno jsem našel zcela neočekávaně elegantní výraz pro součet řady spojené s kvadraturou kruhu ... Jmenovitě šestinásobný součet této řady se rovná čtverci obvodu kruhu, jehož průměr je 1 .

Daniel o tom řekl svému otci, který vyjádřil pochybnosti o platnosti Eulerova rozkladu sinu na nekonečný produkt (viz níže). V roce 1748 proto Euler důsledněji doložil výsledek ve své monografii „Introductio in analysis infinitorum" (svazek I, kapitola X).

Pro kontrolu Euler ručně vypočítal součet řady s přesností na 20 desetinných míst (zřejmě s využitím Eulerovy-Maclaurinovy řady, neboť řada inverzních čtverců konverguje poměrně pomalu). Poté porovnal ručně vypočítanou hodnotu s hodnotou ${\frac {\pi ^{2}}{6}}$ pomocí přibližné hodnoty čísla $\pi$ již známého v té době, a ujistil se, že se obě hodnoty v mezích přesnosti počítání shodují. Poté roku 1743 Euler publikoval další dva různé způsoby sčítání řady převrácených hodnot čtverců.

Eulerova první metoda zjištění součtu řady

Na konci 17. století byl díky práci Newtona a dalších matematiků znám rozklad sinusoidy na součet nekonečné řady:

$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\dots$

Eulerovi se podařilo nalézt jiný rozklad sinu, nikoliv však jako sumy, nýbrž jako nekonečného součinu.

$\sin x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)=x\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdots$

Pakliže srovnáme oba nekonečné výrazy, dostaneme:

$\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{16\pi ^{2}}}\right)\cdot \dots =1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\dots$

Po roznásobení součinu na levé straně, uvažování pouze členů obsahujících $1$ a $x^{2}$ a jejich porovnání s odpovídajícími členy na pravé straně vznikne rovnost:

-x^{2}\left({\frac {1}{\pi ^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}\pi ^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}\pi ^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}\pi ^{2}}}+\cdots \right)=-{\frac {x^{2}}{3!}}=-{\frac {x^{2}}{6}},

ze které po vykrácení plyne

1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1{,}644934\ldots

Využití výsledku

Součet řady odpovídá Riemannově funkci zeta v bodě 2, tedy $\zeta (2)$ .

Součet dělitelů přirozeného čísla roste v průměru jako lineární funkce $\zeta (2)\cdot N$ .

Pravděpodobnost, že dvě náhodně vybraná přirozená čísla v rozsahu od 1 do $N$ budou vzájemně nesoudělná, se pro velká $N$ blíží ${\frac {1}{\zeta (2)}}$ . Jinými slovy, průměrná hustota nesoudělných čísel v řadě přirozených čísel je ${\frac {1}{\zeta (2)}}$ .

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu Basilejský problém na Wikimedia Commons
Leonhard Euler: De Summis Serierum Reciprocarum (latinsky, anglicky)

Související články

Literatura

C. Edward Sandifer: Euler's solution of the Basel problem—the longer story. Euler at 300, 105–117, MAA Spectrum, Math. Assoc. America, Washington, DC, 2007.
Downey, Lawrence / Ong, Boon W. / Sellers, James A.: Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers. The College Mathematics Journal. Vol. 39, No. 5, November 2008. P. 391–394