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Bisectriz

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Construcción gráfica con regla y compás.

La bisectriz de un ángulo es el punto con origen en el vértice del ángulo y que lo divide en dos ángulos de igual medida.[1]​ Es una recta si se considera como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan, es decir, están a la misma distancia de los lados del ángulo bisecado.

Propiedades

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  • La bisectriz es el eje de simetría del ángulo
  • Los puntos de la bisectriz son equidistantes a los dos lados del ángulo

Observación

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  • Dos rectas, al intersecarse, determinan cuatro ángulos consecutivos y sus bisectrices, que pasan por el punto de intersección, forman cuatro ángulos rectos consecutivos .

En la figura, la bisectriz del ángulo xOy (en amarillo) es (z'), y la del ángulo x'Oy es (w'). Se cortan formando un ángulo recto. En efecto, si llamamos a la amplitud de xOz, y b la de yOw, observamos que 2a + 2b es la amplitud del ángulo xOx' = 180°, es un ángulo plano. Luego zOw mide a + b = 90°.

Bisectrices en el triángulo

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  • En un triángulo isósceles el eje de simetría contiene una bisectriz, una mediana, una altura y una mediatriz.
  • En un triángulo equilátero cada eje de simetría contiene un bisectriz, una mediana, una altura y una mediatriz.
Bisectriz como lugar geométrico de los centro de las circunferencias tangentes a los lados del ángulo.
  • Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los lados. Este punto se llama el incentro del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo.

Relación métrica

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  • ab = mn + d2, siendo m, n los segmentos que determina la bisectriz interna d, sobre el lado c = m+n

Longitud

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1. Para bisectriz interior siendo el semiperímetro.

2. Bisectriz interior del ángulo A: , en función de los tres lados a,b y c.[2]

3. Para la bisectriz exterior .[3]

Para la bisectriz de los otros ángulos se sigue el patrón del caso dado, contraponiendo los otros elementos, de manera cíclica.

Ecuaciones de las bisectrices

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En el plano cartesiano

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Sean la rectas

  1. R_1 cuya ecuación normal es xcosμ + y senμ = p
  2. R_2 siendo su ecuación normal xcosω + y senω = q

En tal caso la ecuación cartesiana en el plano de las rectas bisectrices, se hallan sumando y restando las ecuaciones de L_1 y L_2

Ejemplo

Sean

R_1: 4x+3y -8 = 0; normalizando
R_2: 3x -4y +12 = 0, cuya ecuación normal es
Sumando las ecuaciones : , ecuación de la recta bisectriz L_1
Restando las ecuaciones : ecuación de la bisectriz L_2[4]

En el espacio En

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Sean las ecuaciones vectoriales.

R_1 M + αu, donde u es vector unitario director, α recorre ℝ, M punto de Rn está de la recta L_1
R_2 N+ βv, siendo v un vector director unitario, β cualquier número real, N punto de Rn está de la recta L_2

Entonces las ecuaciones vectoriales de las rectas bisectrices de las rectas L_1 y L_2, que se cortan en el punto H son:

L_1:
L-2: [5]

Véase también

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Notas y referencias

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  1. Real Academia Española. «Bisectriz». Diccionario de la lengua española (23.ª edición). 
  2. Bronstein y otro: Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes
  3. Alencar. Exercícios de geometria
  4. Pastor-Santaló-Balanzat: Geometría analítica, Edición Revolucionaria, La Habana /1968
  5. Haaser y otros. Análisis matemático II, Trillas México

Enlaces externos

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