Classe de Pontriaguine

En mathématiques, les classes de Pontriaguine sont des classes caractéristiques associées aux fibrés vectoriels réels, nommées d'après Lev Pontriaguine. Les classes de Pontriaguine appartiennent aux groupes de cohomologie de degré un multiple de quatre.

Définitions

Soit E un fibré vectoriel réel au-dessus de M. La k-ième classe de Pontriaguine p_k(E) est définie par :

p_k(E) = p_k(E, ℤ) = (−1)^k c_2k(E ⊗ ℂ) ∈ H^4k(M, ℤ),

où

• c_2k(E ⊗ ℂ) est la 2k-ième classe de Chern du complexifié E ⊗ ℂ = E ⊕ iE de E ;
• H^4k(M, ℤ) est le 4k-ième groupe de cohomologie de M à coefficients entiers.

La classe totale de Pontriaguine est définie par

$p(E)=1+p_{1}(E)+p_{2}(E)+\cdots \in H^{*}(M,\mathbb {Z} ).$

La classe de Pontriaguine rationnelle p_k(E, ℚ) est définie comme étant l'image de p_k(E) dans H^4k(M, ℚ), le 4k-ième groupe de cohomologie de M à coefficients rationnels.

Propriétés

• Pour deux fibrés vectoriels réels E et F au-dessus de M,

$2p(E\oplus F)=2(p(E)\smile p(F)),$

où $\smile$ est le cup-produit.

C'est-à-dire, pour les classes de Pontriaguine p_k,

$2p_{1}(E\oplus F)=2p_{1}(E)+2p_{1}(F);$

$2p_{2}(E\oplus F)=2p_{2}(E)+2p_{1}(E)\smile p_{1}(F)+2p_{2}(F);$

...

• Si E est un fibré vectoriel réel orienté de dimension 2k, de classe d'Euler e(E) ∈ H^2k(M, ℤ), alors

$p_{k}(E)=e(E)\smile e(E).$

Applications

Classes de Pontriaguine d'une variété

Les classes de Pontriaguine d'une variété lisse sont définies comme étant les classes de Pontriaguine de son fibré tangent.

Sergueï Novikov a montré en 1966 que si deux variétés sont homéomorphes alors leurs classes de Pontriaguine rationnelles sont égales.

Nombres de Pontriaguine

Les nombres de Pontriaguine sont des invariants topologiques d'une variété lisse. Ils sont définis à l'aide des classes de Pontriaguine :

soit M une variété lisse de dimension 4n et k₁, k₂, ..., k_m des entiers naturels tels que k₁+k₂+...+k_m = n.

Les nombres de Pontriaguine $P_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}$ sont définis par :

$P_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}=p_{k_{1}}\smile p_{k_{2}}\smile \cdots \smile p_{k_{m}}([M])$

où p_k est la k-ième classe de Pontriaguine et [M] est la classe fondamentale (en) de M.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pontyagin class » (voir la liste des auteurs).

• (en) John Milnor et James Stasheff, Characteristic Classes, Princeton University Press, coll. « Annals of Mathematics Studies » (n^o 76), 1974 (lire en ligne)
• (en) Allen Hatcher, Vector Bundles and K-Theory, 2.1, 2009, 111 p. (lire en ligne), p. 94-97