Compattificazione di Alexandrov

La compattificazione di Alexandrov o Alexandroff (o compattificazione a un punto) di uno spazio topologico $X$ è uno spazio compatto che estende lo spazio di partenza $X$ mediante l'aggiunta di un unico punto (solitamente indicato con $\infty$). Deve il suo nome al matematico sovietico Pavel Sergeevič Aleksandrov.

Ad esempio, la compattificazione di Alexandroff della retta reale si ottiene aggiungendo un punto in modo che questo "congiunga" i due estremi della retta, che in tal modo diventa topologicamente equivalente alla circonferenza $S^{1}$; analogamente, la compattificazione di Alexandroff dello spazio $\mathbb {R} ^{n}$ è la sfera $S^{n}$.

La compattificazione di Alexandroff $X^{\infty }$ di uno spazio $X$ è, in un certo senso, la più piccola estensione di $X$ che è anche compatta; più precisamente, se $X$ è uno spazio di Tychonoff non compatto ma localmente compatto, allora $X^{\infty }$ è l'elemento minimale dello spazio delle compattificazioni di $X$. Si contrappone quindi alla compattificazione di Stone-Čech, che è la "più grande" compattificazione di $X$.

Definizione

Sia $(X,{\mathcal {U}})$ uno spazio topologico. Allora la compattificazione di Alexandroff di $(X,{\mathcal {U}})$ è lo spazio $(X^{\infty },{\mathcal {U}}^{\infty })$, dove:

• $X^{\infty }=X\cup \{\infty \}$ (ove $\infty$ non è un elemento di $X$);
• ${\mathcal {U}}^{\infty }={\mathcal {U}}\cup \{V\cup \{\infty \}\mid X\setminus V{\rm {\ chiuso\ e\ compatto\ in\ }}X\}$.

In particolare, gli aperti di $(X^{\infty },{\mathcal {U}}^{\infty })$ che contengono $\infty$ sono i complementari degli insiemi chiusi e compatti di $X$.

Proprietà

Inclusione

L'inclusione

$i:X\hookrightarrow X^{\infty }$

è una funzione continua. Se $X$ non è compatto, l'immagine di $i$ è un insieme denso in $X^{\infty }$.

Compattezza

Lo spazio $X^{\infty }$ è compatto. Infatti, dato un ricoprimento aperto ${\mathcal {R}}$ di $X^{\infty }$, esiste certamente un aperto $U\in {\mathcal {R}}$ del ricoprimento che contiene $\infty$. Poiché $X\setminus U$ è compatto ed è ricoperto da ${\mathcal {R}}$, esiste un sottoricoprimento finito ${\mathcal {R}}'$ di $X\setminus U$. Un ricoprimento finito di $X^{\infty }$ è quindi dato da

${\mathcal {R}}'\cup \{U\}.$

Connessione

Se $X$ è connesso e non compatto, allora $X^{\infty }$ è connesso. Infatti se fosse unione disgiunta di due aperti, uno di questi conterrebbe $\infty$ e l'altro sarebbe necessariamente compatto e chiuso. Per connessione, l'unico insieme non vuoto, aperto e chiuso in $X$ è $X$ stesso, il quale non è però compatto.

Spazio di Hausdorff

Se $X$ è di Hausdorff e localmente compatto, allora anche $X^{\infty }$ è di Hausdorff, e viceversa. Infatti per ogni $x\in X$ esistono due intorni disgiunti $U$ di $x$ e $V$ di $\infty$: basta prendere $U$ contenuto in un compatto $K$ contenente $x$, e $V$ il complementare di $K$.

Esempi

• La compattificazione di $\mathbb {R} ^{n}$ è topologicamente equivalente alla sfera $S^{n}$; l'inclusione di $\mathbb {R} ^{n}$ in $S^{n}$ può essere descritta dalla proiezione stereografica.

Bibliografia

• (EN) John L. Kelley, General Topology, Springer-Verlag, 1975, ISBN 978-0-387-90125-1.
• (EN) Ryszard Engelking, General Topology, Helderman Verlag Berlin, 1989, ISBN 978-0-201-08707-9.

Voci correlate

• Topologia
• Spazi compatti
• Compattificazione
• Compattificazione di Stone-Čech
• Sfera di Riemann

Collegamenti esterni

• (EN) V.V. Fedorchuk, Aleksandrov compactification, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.