Compus de două dodecaedre snub

Descriere
Compus de două dodecaedre snub

Tip	compus poliedric uniform UC₆₈ - UC₆₉ - UC₇₀
Fețe	184 (160 triunghiuri, 24 pentagoane)
Laturi (muchii)	300
Vârfuri	120
Configurația vârfului	3⁴,5^[1]
Simbol Schläfli	βr{5,3}
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	Compus: icosaedrică (I_h) Constituenți: icosaedrică chirală (I_h)
Volum	≈75,233 $a$ ³ ( $a$ = latura)
Poliedru dual	compus de două hexacontaedre pentagonale
Proprietăți	Constituenți: 2 dodecaedre snub

În geometrie compusul de două dodecaedre snub este un compus poliedric uniform format din 2 versiuni chirale ale dodecaedrului snub. Are simetrie icosaedrică (I_h).^[2] Ca holosnub, este reprezentat de simbolul Schläfli βr{5,3} și diagrama Coxeter .

Are indicele de compus uniform UC₆₉.^[2]

Poliedre înrudite

Are în comun același aranjament al vârfurilor cu icosidodecaedrul trunchiat neuniform, cu fețe dreptunghiulare, adiacente unor hexagoane și decagoane neregulate, fiecare alternând câte două muchii de lungimi diferite.

Coordonatele carteziene ale vârfurilor acestui compus cu lungimea laturii 2φ − 2, centrat în origine,^[3] sunt toate permutările ale:

\left(\,\pm {\frac {1}{\varphi }},\,\pm {\frac {1}{\varphi }},\,\pm (3+\varphi )\,\right)

\left(\,\pm {\frac {2}{\varphi }},\,\pm \varphi ,\,\pm (1+2\varphi )\,\right)

\left(\,\pm {\frac {1}{\varphi }},\,\pm \varphi ^{2},\,\pm (-1+3\varphi )\,\right)

\left(\,\pm (2\varphi -1,\,\pm 2,\,\pm (2+\varphi )\,\right)

\left(\,\pm \varphi ,\,\pm 3,\,\pm 2\varphi \,\right)

unde $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ este secțiunea de aur.

Următoarea formulă pentru volum $V$ este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) $a$ :

V=2{\frac {(3\varphi +1)\xi ^{2}+(3\varphi +1)\xi -{\frac {\varphi }{6}}-2}{\sqrt {3\xi ^{2}-\varphi ^{2}}}}\approx 75,233300.

unde $\xi \approx 0,94315125924$ este rădăcina reală a polinomului de gradul al treilea $x^{3}+2x^{2}-\varphi ^{2},$ iar $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ este secțiunea de aur.

^ dissid, bendwavy.org, accesat 2023-10-07
^ ^a ^b en Skilling, John (1976), „Uniform Compounds of Uniform Polyhedra”, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 79 (03): 447–457, doi:10.1017/S0305004100052440, MR 0397554
^ en Eric W. Weisstein, Icosahedral group la MathWorld.

Portal Matematică