Convexidá

La convexidá (del llatín convexĭtas, -ātis) d'una curva o una superficie, ye la zona que s'asemeya al esterior d'una circunferencia o una superficie esférica, esto ye, que tien la so parte sobresaliente dirixida al observador. Ye'l conceutu opuestu a la 'cuéncanu'.

Una parte C d'un espaciu vectorial real ye convexa si pa cada par de puntos de C, el segmentu que los xune ta totalmente incluyíu en C; esto ye, un conxuntu ye convexu si puede dise de cualquier puntu a cualesquier otru en llinia recta, ensin salir del mesmu.

Definición

Un conxuntu $C\subset R^{n}$ ye convexu si pa tou $a,b\in C$ :

el segmentu

[ab]\subset C

.

Con otra espresión, $\forall t\in [0,1]$ :

(1-t)a+tb\in C

Nótese que nesta fórmula, la suma de los coeficientes $(1-t)$ y $t$ ye $1$ , polo tanto'l puntu asina definíu nun depende del orixe del sistema de coordenaes.

Nun conxuntu non convexu cada segmentu qu'amuesa la non convexidá tien por fuercia que travesar a lo menos dos veces (en E´y F´) el cantu o la frontera del conxuntu $C$ , $\partial C$ , definida como

\partial C\equiv {\overline {C}}-C^{\circ }

onde $C^{\circ }$ ye definíu como'l interior de $C$ . Por tanto la convexidá depende esencialmente de la forma del cantu del conxuntu, y la definición equival a

\forall a\in \partial C,\,\,\exists \ell {\text{ s.t. }}\forall b\in C,\,\langle b-a,\ell \rangle \leq 0

onde $\langle a,b\rangle \in \mathbb {R}$ denota el productu angular avezáu en $\mathbb {R} ^{n}$ ente $a$ y $b$ . Intuitivamente, esto diz que, per cada puntu nel cantu del conxuntu $C$ (ósea, cada puntu $a\in \partial C$ ) esiste un vector $\ell$ qu'estrema'l planu enteru, y que cada puntu $b\in C$ esiste solamente nel hiperplano con ángulu que subtiende a esi vector treslladáu por $a$ .

Nel casu d'una frontera diferenciable (ensin puntos angulosos) pueden considerase les sos tanxentes (yá que esiste un únicu vector normal a la superficie), y resulta abondo intuitivu que los convexos carauterizar por topase dafechu del mesmu llau de cada tanxente; ye dicir que les tanxentes nunca traviesen C (como nel puntu A de la figura). Esta propiedá sigue cierta en presencia de puntos angulosos, como nel casu de los polígonos convexos.

Establezse la equivalencia d'estos dos carauterizaciones considerando qu'una tanxente (n'A por casu) ye la posición llende de les cuerdes [AA'] con A' averándose indefinidamente d'A, nel cantu de C. El segmentu [AA´] ta en C ente que l'esto de la recta (AA') ta fuera (pol absurdu: si atopa un puntu B de C na recta (AA´), fora de [AA'], entós el segmentu [AB], esterior a C, contradiz la so convexidá).

Envoltura convexa d'un conxuntu

Llámase envolvente convexa d'un conxuntu dau C al menor (por inclusión) conxuntu convexu que contién a C (ye fácil ver que siempres esiste). Na figura, la envoltura convexa de la forma azul escuru ye tol dominiu azul (ye dicir la unión del conxuntu orixinal azul escuro col dominiu azul claru), y l'envoltura convexa de los cinco puntos verde escuru ye'l polígonu verde claru (incluyendo los puntos, de xacíu). En particular, defínese

{\textbf {conv}}(C)=\{tx+(1-t)y\,\,|\,\,x,y\in C,\,t\in [0;1]\}

y, como primeramente dichu, nótase que, si $C\subseteq P$ , y $P$ ye un conxuntu convexu, entós $C\subseteq {\textbf {conv}}(C)\subseteq P$ .

Establecer con facilidá que la envoltura convexa ye'l conxuntu de tolos baricentros positivos (ye dicir con coeficientes toos positivos) de los puntos del conxuntu inicial.

Na figura, C ye un baricentru positivu d'A y B porque ta nel segmentu [AB], y G ye otru tantu de D, E y F, porque s'atopa nel triángulu DEF.

Función convexa

Dizse qu'una función real, definida sobre un intervalu ye convexa si'l dominiu del planu asitiáu percima de la so curva (en gris na figura) lo ye. Ensin sorpresa, les considerancies anteriores aplíquense: Namái importa la frontera del dominiu, ye dicir la curva d'ecuación $y=f(x)$ . La convexidá esprésase asina: Pa cualquier par $(x,x')$ nel intervalu $I$ , y cualquier ecuación|: $t\in [0;1]$

f(tx+(1-t)x')\leq tf(x)+(1-t)f(x')

||left}}

Exemplos: la hipérbola y = $1/x$ (con x > 0), les paráboles y = ax² + bx + c, con a > 0 y x real variable, y la función esponencial y = y^x. Si la función f ye derivable entós la convexidá equival a la condición siguiente:

$f'(x)\leq {\frac {f(x')-f(x)}{x'-x}}\leq f'(x')$

que significa que la rimada de la cuerda ente dos puntos x y x' ta contenida ente los valores estremos de la derivada. Esto equival al que la derivada seya creciente, en tol dominiu de f . Si f ye dos veces derivable, lo anterior significa que la derivada segunda ye positiva: f"(x) ≥ 0.

Ye fácil verificar que los trés exemplos anteriores son convexos:

$\left({\frac {1}{x}}\right)^{\prime \prime }={\frac {2}{x^{3}}}$

positivu cuando x > 0; (ax² + bx + c)" = 2a > 0; y (y^x)" = y^x, siempres positivu.

Equivalentemente, la convexidá d'una función puede ser establecida usando lo primeramente establecío. Definimos un conxuntu

${\textbf {epi}}\,f=\{(x,t)\in \mathbb {R} ^{n+1}\,\vert \,f(x)\leq t\}$

llamáu l'epígrafe de la función $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ . Nesti casu, una función ye convexa solamente si'l so epígrafe ye un conxuntu convexu.

Diferencies ente convexidá y cuéncanu

El cuéncanu y la convexidá son definiciones arbitraries y opuestes en matemática y xeometría, por tanto intercambiables ensin perxuiciu del sistema. Atópense dambes posibilidaes de definición en distintos ámbitos, polo que ye necesaria la definición de siquier una d'elles. En particular, una función $f$ ye cóncava solamente si'l so inversu aditivu ye convexa; esto ye, $f$ ye cóncava solamente si $-f$ ye convexa.

Usando esta definición, solamente funciones allegaes son dambes cóncaves y convexes. En particular, nun ye difícil comprobar que si tenemos una funcion $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ que satisfai

$f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y);\,\,\alpha ,\beta \in \mathbb {R} ;\,x,y\in \mathbb {R} ^{n}$

cuando $\alpha +\beta =1$ , entós dambes $f$ y $-f$ son funciones convexes. El casu contrariu tamién ye ciertu si una función ye dambes cóncava y convexa entós ye allegada; esta observación esprender direutamente de la definición de convexidá.

Ver tamién

Referencies

El conteníu d'esti artículu incorpora material d'una entrada de la Enciclopedia Libre Universal, espublizada en castellán baxo la llicencia Creative Commons Compartir-Igual 3.0.