Conxunto de Mandelbrot

En Matemática, un conxunto de Mandelbrot é un fractal definido como o conxunto de puntos c no plano complexo para o cal a sucesión definida iterativamente:

z_{0}=0\,

z_{n+1}={z_{n}}^{2}+c

non tende ao infinito.

Para cada punto c do plano complexo, a sucesión é expandida como:

c=x+iy\,

Z_{0}=0\,

{\begin{matrix}Z_{1}&=&Z_{0}^{2}+c\\\ &=&x+iy\end{matrix}}\,

{\begin{matrix}Z_{2}&=&Z_{1}^{2}+c\\\ &=&(x+iy)^{2}+x+iy\\\ &=&x^{2}+2ixy-y^{2}+x+iy\\\ &=&x^{2}-y^{2}+x+(2xy+y)i\end{matrix}}\,

Z_{3}=Z_{2}^{2}+c=...\,

e así sucesivamente.

A sucesión z_n+1= z_n²+c para 5 valores diferentes de c, sobreposta ao conxunto de Mandelbrot. En cada sucesión, os puntos z_n (en amarelo) están ligados aos puntos z_n-1 e z_n+1 por unha liña (en vermello)

Se reescribirmos a sucesión en termos das partes real e imaxinaria (coordenadas x e y do plano complexo), a cada iteración n, substituíndo z_n polo punto x_n + y_ni e c polo punto a + bi, temos:

x_{n+1}={x_{n}}^{2}-{y_{n}}^{2}+a\,

e

y_{n+1}=2{x_{n}}{y_{n}}+b\,

O conxunto de Mandelbrot, na súa representación gráfica, pode ser dividido nun conxunto infinito de figuras negras, sendo a maior delas un cardioide localizado no centro do plano complexo. Existe unha infinidade (contábel) de case-círculos (o maior deles é a única figura que, de feito, é un círculo exacto e localízase á esquerda do cardioide) tanxentes ao cardioide e varían de tamaño con raio tendendo asintoticamente a cero.

Cada un deses círculos ten o seu propio conxunto infinito (contábel) de pequenos círculos cuxos raios tamén tenden asintoticamente a cero. Ese proceso repítese infinitamente, xerando unha figura fractal.

Dentro do conxunto de Mandelbrot hai réplicas do conxunto ad infinitum!

Cando se explora o Conxunto de Mandelbrot con máis resolución (facendo «zoom») atópanse sempre réplicas e máis réplicas do conxunto ad infinitun! É unha característica dos obxectos fractais. Só a limitada precisión das computacións posíbeis fai con que, a partir de certa altura, iso deixe de acontecer.

Historia

O conxunto de Mandelbrot foi definido pola primeira vez en 1905 por Pierre Fatou, un matemático francés que traballou no campo da dinámica analítica complexa. Fatou estudou procesos recursivos como

z\to z^{2}+c\,

Comezando cun punto calquera $z_{0}$ do plano complexo, pódense xerar puntos sucesivos aplicando repetidamente esta fórmula. A sucesión de puntos obtida chámase órbita de $z_{0}$ baixo a transformación $z\to z^{2}+c\,$ .

Fatou percebeu que a órbita de $z_{0}=0$ baixo esta transformación fornecería algunha introspección sobre o comportamento de tales sistemas. Existe un número infinito de tales funcións - unha para cada valor de c. Fatou non tivo acceso a un computador capaz de plotear as órbitas de todas esas funcións, mais el tentou facelo a man. El probou que unha vez que un punto atinxe unha distancia da orixe maior a 2, a órbita expándese para o infinito.

Fatou nunca viu unha imaxe, como estamos acostumados, do que hoxe chamamos de conxunto de Mandelbrot pois a cantidade de cálculos necesaria para se xeraren tales imaxes está alén da capacidade dun ser humano para executar a man. O Profesor Benoît Mandelbrot foi a primeira persoa en utilizar un computador para plotear o conxunto.

Os fractais popularizáronse a partir do libro Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension de Mandelbrot en 1975. Neste libro, Mandelbrot usou o termo fractal para describir un número de fenómenos matemáticos que parecían exhibir comportamento caótico ou sorprendente. Todos estes fenómenos incluían a definición dalgunha curva ou algún conxunto a través do uso de funcións ou algoritmos recursivos. O conxunto de Mandelbrot é un deses fenómenos e leva o nome do seu descubridor.

Relación cos conxuntos de Julia

O conxunto de Mandelbrot foi creado por Benoît Mandelbrot como un índice ao conxunto de Julia: cada punto no plano complexo corresponde a un conxunto de Julia diferente. Os puntos que pertencen ao conxunto de Mandelbrot corresponden precisamente aos conxuntos de Julia conexos, e os puntos fóra do conxunto de Mandelbrot corresponden aos conxuntos de Julia disconexos.

Os puntos do conxunto de Mandelbrot correspondense de forma precisa cos conxuntos de Julia conectados, e os puntos de fóra corresponden aos non conectados.

Intuitivamente, os conxuntos de Julia "interesantes" corresponden aos puntos próximos á fronteira do conxunto de Mandelbrot; os puntos máis internos ao conxunto de Mandelbrot corresponden a formas xeométricas relativamente simples, en canto que os puntos máis externos lembran poeira rodeada por manchas de cores. Algúns programas, como o Fractint, permiten que o usuario escolla un punto e vexa o conxunto de Julia correspondente, tornando fácil a navegación.

O conxunto de Mandelbrot tamén "contén" estruturas moi semellantes aos conxuntos de Julia; de feito, para calquera valor c, a rexión do conxunto de Mandelbrot ao redor de c lembra o centro do conxunto de Julia con parámetro c.

Ciclos Periódicos no conxunto de Mandelbrot

Dentro do conxunto de Mandelbrot, a iteración da sucesión z_n+1= z_n²+c evolui de modo diferente para diferentes valores de c. Para valores de of c no centro da grande cardioide, as iteracións converxe para un punto. Para valores de c dentro do gran bulbo á esquerda do cardioide, as iteracións converxen para un ciclo de período 2. Para os outros bulbos, as iteracións converxen para ciclos con diferentes períodos, de acordo co número mostrado na figura seguinte.

Nótese que no bulbo que fica exactamente no medio entre o bulbo con n=2 e o bulbo con n=5, o período do ciclo é n=2+3=5;no bulbo entre o bulbo con n=2 e o bulbo con n=3, o período do ciclo é n=2+5=7;no que está entre o bulbo con n=2 e o bulbo con n=7, o período do ciclo é n=2+7=9. De feito, hai nese cuadrante do cardioide tantos bulbos como os números reais entre 2 e 3!

Ciclo atractor no bulbo 2/5 deseñado sobre o conxunto de Julia correspondente (animación)

Se observarmos o movemento dos puntos nun ciclo do bulbo con n=5, vemos que o ciclo salta sempre 2 compoñentes no sentido antihorario en cada iteración. Podemos entón designar ese ciclo polo número racional 2/5; e dicir, o ciclo roda en torno dun punto central nunha rotación de 2/5 de revolución por cada iteración. E ese bulbo pode designarse por «bulbo 2/5».

Usando esta designación, vese claro que os bulbos primarios están ordenados en orde crecente deste número de rotación: 1/7 1/6 1/5 1/4 2/7 1/3 3/8 2/5 3/7 1/2. Para sabermos o número de rotación dun bulbo intermedio, basta sumar os numeradores e os denominadores separadamente:

Ciclos atractores e conxuntos de Julia para parámetros nos bulbos 1/2, 3/7, 2/5, 1/3, 1/4 e 1/5

entre o bulbo 2/5 e o bulbo 1/2, hai o bulbo 3/7; e hai tamén outro bulbo 4/9 aínda máis pequeno entre o bulbo 1/2 e o bulbo 3/7.

Os bulbos están ordenados exactamente como os números racionais; hai un bulbo p/q para cada número racional entre 0 e 1 e eles están ordenados correctamente á volta do bulbo principal no sentido antihorario, comezando en cero na cúspide. Na parte de baixo, os ciclos rodan no sentido horario.

Na figura da esquerda represéntase sobre o conxunto de Mandelbrot a evolución da sucesión z_n+1= z_n²+c a partir de diferentes valores de c.

(Nótese que, aínda que sexan interesantes desde o punto de vista gráfico, estas representacións das diferentes evolucións sobrepostas ao conxunto de Mandelbrot non son mo correctas conceptualmente, ao ocorreren no espazo de fase dun sistema dinámico e non no espazo de parámetros de polinomios cuadráticos, como o conxunto de Mandelbrot.)

Deseñando o conxunto

Un filme con zoom sobre o punto 0.001643721971153 + 0.822467633298876i no COnxunto de Mandelbrot

Pódese mostrar que unha vez que o valor absoluto de z _n é maior que 2 (na forma cartesiana, cando x_n² + y_n² > 2²) a sucesión tenderá ao infinito e, polo tanto, c non pertence ao conxunto de Mandelbrot. Este valor, coñecido como valor de fuga, permite o termo dos cálculos para puntos que non pertencen ao conxunto de Mandelbrot. Para aqueles valores pertencentes ao conxunto, ou sexa, valores de c para os cales z_n non tende ao infinito, o cálculo nunca terminará. Polo tanto, o cálculo debe terminarse despois dun certo número de iteracións determinado polo programa. Iso resulta nunha imaxe que é só unha representación aproximada do conxunto verdadeiro. Os afeccionados aprenden axiña a recoñecer as imperfeccións nas imaxes xeradas, onde se inclúen puntos que non pertencen ao conxunto de Mandelbrot debido ao número insuficiente de iteracións executadas polo algoritmo. Nestas situacións, é posíbel reaxustar o programa para que sexa executado un número maior de iteracións, co custo de tornar o proceso máis lento debido ao aumento da cantidade de cálculos.

Por desgraza, o número de iteracións necesarias para a representación perfecta do conxunto é infinito. Alén diso, o conxunto ocupa unha rexión continua do plano de Argand-Gauss que, polo tanto, é imposíbel de representarse fielmente nunha imaxe pixelizada (espazo discreto).

Engadindo cor

Matematicamente falando, as imaxes dos conxuntos de Mandelbrot e de Julia son en "branco e negro", no sentido de que un punto está ou dentro ou fóra do conxunto en cuestión. Porén, a maioría das imaxes xeradas por computador deséñanse con cores. No método de renderización máis común, para os puntos que diverxe para o infinito e que, polo tanto, non fan parte do conxunto, as cores reflicten o número de iteracións necesarias para atinxiren unha certa distancia da orixe. Iso crea formas concéntricas, sendo cada máis interna unha mellor aproximación do conxunto de Mandelbrot en relación á capa exterior.

Un posíbel esquema de cores é o de pintar de negro os puntos que diverxen axiña, ter as cores máis claras ao centro da imaxe e un gradiente de tons de cinza. Para determinar se o punto Z₀ pertence ao conxunto de Mandelbrot (tradicionalmente representado en negro) ou se está fóra do conxunto (colorido de acordo coa súa velocidade de escape), a distancia de Z_i debe calcularse a cada iteración:

Se $Z_{i}=X+iY\$ , entón $\|Z_{i}\|={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}$ . Note que unha das moitas otimizacións posíbeis no cálculo de mandelbrots pode se aplicar aquí. En vez de testar se ${\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}>2$ , podemos simplemente testar se $X^{2}+Y^{2}>4\$ evitando, dese modo, a operación de cálculo da raíz cadrada.

Optimización

Unha forma de mellorar o desempeño dos cálculos é achar de antemán se un dado punto está dentro do cardioide. A ecuación polar do cardioide é

\rho _{c}={1 \over 2}-{1 \over 2}\cos \theta

mais co centro das coordenadas polares en (1/4,0) — a punta do cardioide — en vez de estar na orixe.

Dado un punto (x,y), calcule o seguinte:

\rho ={\sqrt {\left(x-{1 \over 4}\right)^{2}+y^{2}}},

\theta ={\hbox{arctg}}\left({y \over x-{1 \over 4}}\right),

\rho _{c}={1 \over 2}-{1 \over 2}\cos \theta .

Unha parte do conxunto de Mandelbrot centrada en (0,282, -0,01)

Se $\rho \leq \rho _{c}$ entón o punto (x,y) pertence ao conxunto de Mandelbrot (pínteo de negro, por exemplo), e pódese saltar os cálculos para este punto.

Para outros puntos, é posíbel evitar unha gran cantidade de operacións facendo "testes de periodicidade" - verificar se un punto alcanzado nunha iteración dun píxel xa alcanzouse anteriormente. Se xa, a sucesión non pode diverxer, e o punto debe pertencer ao conxunto.

Algúns detalles do conxunto de Mandelbrot

feitos con base nun applet de JAVA

lado=0.582; punto-inferior-esquerdo=-0,4+0.5i
lado=0.0017815; punto-inferior-esquerdo=-0.75+0.06i
lado=0.004402; punto-inferior-esquerdo=0.28+0.0084i
lado=0.000191; punto-inferior-esquerdo=-0.78-0.136i
lado=0.00004; punto-inferior-esquerdo=-1.595+0.000095i
lado=0.0001558; punto-inferior-esquerdo=-0.75+0.064i
lado=0.0000829; punto-inferior-esquerdo=0.253-0.0031i
lado=0.0166; punto-inferior-esquerdo=-1.042-0.0346i

Arte e o Conxunto de Mandelbrot

Algunhas persoas teñen o hobby de buscar no conxunto de Mandelbrot figuras interesantes, coleccionando as figuras xunto coas respectivas coordenadas utilizadas para xeralas. Por exemplo, a imaxe á dereita é un close centrado nas coordenadas (0.282, -0.01). Abaixo hai máis exemplos de belas rexións do conxunto de Mandelbrot:

Hai moitos programas para xeración de fractais dispoñíbeis de balde en Internet así como software libre. Así, por exemplo, os feitos por Stephen Ferguson (Sterling Fractal e a serie Tierazon). Moitas persoas escriben os seus propios programas de xeración de fractais para que poidan ter a maior mobilidade posíbel no proceso de xeración das imaxes.

Outros Conxuntos de Mandelbrot

Cando se fala sobre o conxunto de Mandelbrot, frecuentemente se refere ao conxunto descrito enriba. Porén, calquera función mapeada a partir de, ou para, o campo complexo posúe un conxunto de Mandelbrot que indica, para cada punto, se o conxunto de Julia correspondente a aquela función é ou non conexo.

Exemplo:

Sexa $f_{c}(z)=z^{3}+c$ .

Para cada valor de c, deseñamos o conxunto de Julia $J_{c}$ de $f_{c}(z)$ , e determinamos se el é conexo ou non. Se $J_{c}$ for conexo, entón c pertence ao conxunto de Mandelbrot de { $f_{c}$ }, senón, c non pertence ao conxunto.

Isto tamén pode xeneralizarse para conxuntos de Julia parametrizados por máis de dous números reais. Por exemplo, unha familia de conxuntos de Julia parametrizada por tres números reais será asociada a un conxunto de Mandelbrot tridimensional. Claramente, as figuras xeradas nos casos bidimensionais son, en xeral, máis facilmente visualizábeis.

O Conxunto de Mandelbrot e a música

A banda australiana GangGajang ten unha música Time (and the Mandelbrot set), ou Tempo (e o conxunto de Mandelbrot), onde o termo Mandelbrot set (Conxunto de Mandelbrot) é libremente usado.

O cantor americano Jonathan Coulton ten unha canción titulada Mandelbrot Set, ou Conxunto de Mandelbrot, versando sobre a historia do conxunto de Mandelbrot así como a do propio Benoît Mandelbrot.