Criteri di convergenza

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Disambiguazione – Se stai cercando i criteri di convergenza dell'Unione europea, vedi Parametri di Maastricht.

In analisi matematica i criteri di convergenza per le serie sono condizioni sufficienti per la determinazione del carattere della serie.

Serie a termini concordi

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Primo criterio del confronto

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Consideriamo due serie a termini non negativi e tali che :

  • se la maggiorante converge, la minorante è convergente;
  • se la minorante diverge, la maggiorante è divergente.

Questo criterio viene utilizzato per dimostrare che la serie armonica generalizzata è divergente per α ≤ 1.

Dimostrazione

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Data la successione di somme parziali di , dove è monotona crescente: .

Analogamente con successione di somme parziali di : .

Abbiamo che:

dove non è da escludere che gli estremi superiori possano assumere anche il valore . Quanto affermato nel criterio ne segue immediatamente.

Secondo criterio del confronto o del confronto asintotico

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Date due serie a termini positivi e :

  • se è convergente e , dove , allora è convergente;
  • se è divergente e (anche ), allora è divergente.

Il criterio del confronto asintotico è utile per far vedere che la serie armonica generalizzata è convergente per .

Dimostrazione

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Dato che , per definizione di limite di successione abbiamo che:

Si scelga , allora si ha:

che si può riscrivere:

Dunque poiché converge anche e convergono, di conseguenza anche converge. Analogamente per divergente.

Confronto con la serie geometrica: criteri derivati e stima del resto

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Per applicare i criteri di confronto in modo diretto bisogna prendere in considerazione due serie, di cui una abbia un carattere noto (cioè si sappia se converge o meno), mentre l'altra abbia un carattere da valutare in base al confronto. Una delle due serie fa dunque da serie di riferimento.

Se però come serie di riferimento fissiamo una particolare serie e confrontiamo una generica serie con la serie fissata, allora - avendo fissato una delle serie - il criterio del confronto si riduce a delle condizioni sui termini . Si ottengono così una serie di criteri derivati, che fanno riferimento esplicitamente ad una sola serie di cui si vuole stabilire il carattere, ma che tuttavia "sottintendono" un confronto con la serie di riferimento fissata. Quando si applicano tali criteri è importante tenere presente quale sia la serie "sottintesa", poiché ovviamente la stima del criterio derivato non potrà essere più raffinata di quella che si otterrebbe da un confronto diretto dalla serie studiata con quella di riferimento.

Una delle serie più utili come serie di riferimento per il confronto è la serie geometrica, cioè la successione delle somme parziali delle potenze di un argomento dato:

Applicando i criteri di confronto al confronto con questa serie si possono ricavare i seguenti criteri derivati:

Criterio della radice (o di Cauchy)

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Consideriamo una serie a termini non negativi per la quale esista il limite .

Si ha che:

  • il carattere della serie è convergente se
  • il carattere della serie è divergente se
  • non si può stabilire il carattere della serie se
Dimostrazione
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Basta osservare che se allora possiamo fissare un fra e 1 tale che per tutti gli maggiori di un certo abbastanza grande i termini della successione siano minori di :

Elevando per si ottiene dunque:

Applicando allora il criterio del confronto fra la serie e la serie geometrica si ha che la serie converge.

Se allora esiste tale che per ogni si ha da cui . Dato che non tende a 0 la serie diverge.

Stabiliamo il carattere della serie:

Applicando il criterio della radice abbiamo:

Ma

come si deduce facilmente passando al logaritmo:

Quindi se la serie converge, mentre se la serie diverge.

Per la serie diviene la serie armonica generalizzata con che diverge se e converge se .

Criterio del rapporto (o di d'Alembert)

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Consideriamo una serie a termini positivi tale che esista il limite . Questa serie:

  • converge, se ;
  • diverge, se ;
  • ha un comportamento che non può essere stabilito da questo criterio, se .

Caso I

Se , possiamo fissare un numero tale che, per tutti gli maggiori di un certo abbastanza grande, il rapporto fra due termini successivi sia minore di :

da cui:

Dal momento che questa relazione vale per tutti gli maggiori di , partendo da un generico termine possiamo procedere a ritroso fino a :

A meno di una costante moltiplicativa (si ricordi che è un numero), la successione risulta minorante della successione delle potenze di , che è convergente, essendo . Di conseguenza, per il primo criterio del confronto, la serie degli converge.

Caso II

Essendo , si consideri un numero . Esiste allora un valore tale che

ossia

e analogamente

La coda della serie degli è maggiorante di una serie geometrica che ha ragione e che è quindi divergente:

Di conseguenza, utilizzando il primo criterio del confronto, anche la serie risulta divergente.

Stima del resto

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Il confronto con la serie geometrica rende particolarmente agevole la valutazione del "resto", cioè dell'errore che si commette calcolando la somma di una serie fermandosi al suo -esimo termine:

Supponiamo infatti di avere una serie tale che da un certo in poi i termini siano minori dei termini di una serie geometrica di argomento tale che a meno di una costante moltiplicativa :

Allora non solo la serie converge, ma si ha anche:

Questa espressione si semplifica ulteriormente nel caso in cui il confronto della serie con la serie geometrica venga ottenuto per mezzo del criterio del rapporto. In quel caso infatti, come si è mostrato nella Dimostrazione, esiste una certa costante e un certo intero abbastanza grande tale che:

Possiamo dunque applicare la formula per il resto precedentemente trovata, con la costante moltiplicativa , ottenendo:

Dunque nei casi in cui si applica il criterio del rapporto il resto -esimo della serie da stimare è limitato, a meno di una costante moltiplicativa, dall'-esimo termine della serie. Questa è una relazione molto importante per gli sviluppi in serie di funzioni.

Consideriamo una serie a termini positivi, per la quale esiste il limite

Allora:

  • se la serie converge;
  • se la serie diverge;
  • se il criterio non contribuisce a chiarire il suo comportamento.

Dimostrazione

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Dimostriamo la divergenza.

Dato che per definizione di limite di successioni avremo:

Facendo qualche semplice passaggio si ottiene:

questo vale per

da questa posso scrivere:

dove:

Perché quest'ultima è una serie armonica moltiplicata per una costante. Inoltre per il criterio del confronto risulta che

Criterio di condensazione di Cauchy

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Lo stesso argomento in dettaglio: Criterio di condensazione di Cauchy.

Se è una successione positiva non crescente, la serie

converge se e solo se converge la serie

Criterio dell'integrale

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Si consideri un intero e una funzione continua non negativa definita sull'intervallo illimitato , in cui è monotonicamente decrescente. Allora la serie

converge a un numero reale se e solo se l'integrale improprio

è finito.

Osservazione: se l'integrale improprio è finito, allora il metodo dà anche un maggiorante e un minorante

per la serie.

Dimostrazione

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La dimostrazione utilizza il teorema del confronto fra il termine con l'integrale di sugli intervalli e , rispettivamente.

Poiché è decrescente, si sa che

e

Quindi, per ogni intero ,

e, per ogni intero ,

Dalla somma su tutti gli da a qualche intero maggiore , si ricava dalle disuguaglianze precedenti che

e

Combinando i risultati si ha

Facendo tendere a infinito, segue sia il teorema che la stima del valore della serie.

Serie a termini discordi

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Criterio di convergenza assoluta

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Data una serie , si dice che essa è assolutamente convergente se converge.

Se una serie è convergente assolutamente è anche convergente semplicemente.

Dimostrazione

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Sia una serie.

Consideriamo ; per ipotesi, essa converge. Allora

(deve essere soddisfatta la condizione di Cauchy sulle serie)
(la serie dei moduli non è mai negativa)
(minorazione tramite la disuguaglianza triangolare: la somma dei moduli è maggiore eguale al modulo della somma)

Criterio di Leibniz

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Lo stesso argomento in dettaglio: Criterio di Leibniz.

Si dicono serie a termini di segno alterno le serie a termini reali tali che due termini consecutivi hanno segno opposto. La serie , con definitivamente positiva, è dunque a termini di segno alterno, infatti:

  • per pari il termine è positivo;
  • per dispari il termine è negativo.

Per queste serie vale il seguente criterio di Leibniz:

Data la serie , se la successione è definitivamente positiva, decrescente e tende a , cioè:

Allora si ha che:

  • la serie è convergente ad
  • le somme parziali di ordine pari e quelle di ordine dispari sono monotone e tendono a
  • , il resto -esimo è minore al termine

Criterio di Dirichlet

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Lo stesso argomento in dettaglio: Criterio di Dirichlet (matematica).

Il criterio di Dirichlet per le serie generalizza il criterio di Leibniz. Siano e due successioni. Se tende monotonamente a , e se la serie dei è limitata, cioè se

Allora la serie è convergente. In particolare, ponendo si ottiene il criterio di Leibniz.

Collegamenti esterni

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