Differensial i matematikk

Differensialet dy

Eit differensial er eit uttrykk i differensialrekning for ei infinitesimal lita endring av ein variabel. Eit differensial er ei endring av ein variabel som er mykje likt den kjende Δx. Skilnaden er at differnsialet $(dx)$ er uendeleg lite, og derfor ikkje har nokon eigentleg verdi.

Bruk

Ein derivert (av ei enkel variabel likning) er forholdet mellom to differensial, vanlegvis skrive ${\frac {dy}{dx}}$ som er Leibniznotasjonen av $y'{\big (}x{\big )}={\dot {y}}$ i Newtons notasjon for differensiering. Dette kjem av likninga for hellinga $m={\frac {\Delta \ y}{\Delta \ x}}$ der den einaste skilnaden er at ein har bytta ut delta med differensial, for å vise at verdiane til x og y er i eitt punkt, og ikkje over ein avstand. For ei djupare forklaring sjå derivasjon.

Integral brukar ofte differensial i notasjonen sin. Differnsial er ofte brukt for indikere integrasjonsvariabelen. I måten eit Riemannintegral er definert på, referer det til ei form for tjukkleik, ein ide som matematisk ikkje er korrekt, fordi differensialet representerer ein lineær transformasjon.

Differensialet som ein lokal lineær transformasjon

Fleire forfattarar har prøvd å definere differensialet utan å bruke omgrepet infinitesimal. Denne definisjonen er baset på definisjonen i Apostol si bok:

Me tenkjer oss ein funksjon med reelle verdiar, $f$, definert i ei open delmengd $S$ av $\mathbb {R} ^{n}$. Viss $\mathbf {a} \in S$ er eit punkt i $S$, så seier vi at $f$ har eit differensial ved $\mathbf {a}$ viss det eksisterer $g_{\mathbf {a} }$ som oppfyller:

1. $g_{\mathbf {a} }$ er ein funksjon med reelle verdiar definert for heile $\mathbb {R} ^{n}$
2. $g_{\mathbf {a} }$ er lineær. Det er gjeve at $\mathbf {t} ,\mathbf {t'} \in \mathbb {R} ^{n}$ og $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$:
   $g_{\mathbf {a} }\left(\alpha \mathbf {t} +\beta \mathbf {t'} \right)=\alpha g_{\mathbf {a} }(\mathbf {t} )+\beta g_{\mathbf {a} }(\mathbf {t'} )$
3. For kvar $\epsilon >0$, eksisterer det ein omegn $N(\mathbf {a} )$ av $\mathbf {a}$ slik at:
   $\mathbf {t} \in N(\mathbf {a} )\Longrightarrow \left|f(\mathbf {t} )-f(\mathbf {a} )-g_{\mathbf {a} }(\mathbf {t} -\mathbf {a} )\right|<\epsilon \left|\mathbf {t} -\mathbf {a} \right|$

$g_{\mathbf {a} }\left(\mathbf {t} \right)$ er ofte tenkt som ein funksjon av to n-dimensjonale variablar og skriven $g\left(\mathbf {a} ;\mathbf {t} \right)$. Merk derimot at han ikkje kan definerast over heile $S$. Det er vanleg å skrive variablane $\mathbf {t} =\left(t_{1},t_{2},\dots t_{n}\right)$ som $d\mathbf {x} =\left(dx_{1},dx_{2},\dots dx_{n}\right)$ og differensialet, viss det eksisterer som $df\left(\mathbf {x} ;d\mathbf {x} \right)$. Det er då mogeleg å syne at han er unik og oppfyller:

$df\left(\mathbf {x} ;d\mathbf {x} \right)=\sum _{k=1}^{n}D_{k}f\left(\mathbf {x} \right)dx_{k}$,

Der $D_{k}f\left(\mathbf {x} \right)$ er den n partiellderiverte ved $\mathbf {x}$. Dette kan skrivast kortare ved å bruke følgjande notasjon:

$df={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}dx_{2}+\dots {\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}dx_{n}$.

I ein dimensjon vert dette:

$df={\frac {df}{dx}}dx$.

Ein bør merke seg at ${\frac {df}{dx}}$ er eit eige symbol, medan $dx$ er ein lineær transformasjon av det eindimensjonale rommet. Derfor kan ein ikkje «stryke bort» dei to $dx$.

Alle dei partiellderiverte av $f\left(\mathbf {x} \right)$ ved $\mathbf {x}$ er eit nødvendig vilkår for at differensialet kan eksistere ved $\mathbf {x}$. Det er derimot ikkje eit tilstrekkeleg vilkår. Det er mogeleg å syne at viss $f\left(\mathbf {x} \right)$ har eit differensial ved $\mathbf {x}$ så er han kontinuerleg ved $\mathbf {x}$. Men den følgjande funksjonen:

$f(x,y)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}},&{\mbox{viss }}x\neq 0,\\0,&{\mbox{viss }}x=0\end{matrix}}\right.$

har endeleg retningsderiverte i alle retningar ved $\left(0,0\right)$, og derfor har all partiellderiverte i startpunktet. Han er derimot ikkje kontinuerleg i startpunktet sidan han har verdien ${\frac {1}{2}}$ på kvart punkt av parabelen $x=y^{2}$, bortsett frå i startpunktet, der han har verdien $0$. Han har derfor ikkje eit differensial i startpunktet.

Forvirring

Det er vanleg at mattestudentar (særleg i starten) blandar differensial og deriverte, men dei har to matematiske tydingar.

Differensial er ikkje tal, og kan derfor heller ikkje handsamast som tal, og når dei vert handsama som tal, er det sannsynlegvis for å rekne ut ei tilnærming. Differensiala har same eininga som variablane dei er knytte til.

Sjå òg

• Partielldifferensial
• Differensiallikning
• Differensialform
• Differensialrekning
• Grense