Discussion:Uranium 234

Passage supprimé

Bonjour, J'ai supprimé ce passage qui ressemble à une discussion. Je le met ici au cas où il contient des informations pertinentes qui pourraient être remises dans l'article, je suis incapable d'en juger la pertinence et l'intérêt. Pi.r (discuter) 22 octobre 2014 à 13:28 (CEST)

Teneur isotopique de ²³⁴U dans l'uranium naturel

Le site web au label impressionnant: ("globalsecurity.org"). donne les valeurs suivantes pour les teneurs atomiques des isotopes naturels de l'uranium:

• uranium 238 (de 99,2739 à 99,2752 % d'abondance naturelle),
• uranium 235 (de 0,7198 à 0,7202 %)
• uranium 234 (0,0050 - 0,0059 %)

Les valeurs données pour ²³⁴U sont manifestement erronées car il est complètement impossible que le rapport ²³⁴U / ²³⁸U varie dans les proportions citées. Elles ne peuvent physiquement s'écarter beaucoup de la valeur d'équilibre. En prenant la valeur minimum citée pour l'uranium 238 on trouve 0,0054541% pour l' uranium 234 et en prenant la valeur maximale citée on trouve quasiment la même valeur. Les conséquences de cette erreur sont que les valeurs minimales et maximales données pour ²³⁸U sont également fausses ce qui est plus gênant (si l' uranium 234 est un isotope marginal de l'uranium ce n'est pas le cas de l'uranium 238 !!). Faisant l'hypothèse que les valeurs données pour l'uranium 235 sont correctes, ce qui n'est d'ailleurs pas certain, les valeurs plus correctes sont les suivantes

• uranium 238 (de 99,27475% à 99,27435%)
• uranium 235 (de 0,7198 à 0,7202 %)
• uranium 234 0,0054541%

Variation de la teneur en uranium 234

Liminaires

On effectue en un premier temps une résolution complète du problème et on se livre ensuite à des analyses et simplifications

Notations

$.\;N_{4}\;.$ = Nombre d'atomes d'uranium 234

$.\;\theta _{4}\;.$ = Demi-vie radioactive de l'uranium 234 = 245 000 a =

$.\;\lambda _{4}\;.$ = Constante radioactive de l'uranium 234 $.\qquad ={ln(2) \over \theta _{4}}\;.$

$.\;N_{8}\;.$ = Nombre d'atomes d'uranium 238

$.\;\theta _{8}\;.$ = Demi-vie radioactive de l'uranium 234 = 4 468 800 000 a

$.\;\lambda _{8}\;.$ = Constante radioactive de l'uranium 238 $.\qquad ={ln(2) \over \theta _{8}}\;.$

$.\;{N_{4} \over N_{8}}=\scriptstyle {Proportion~atomique~U~234~dans~U~total \over Proportion~atomique~U~238~dans~U~total}\;.$ = Inconnue du problème

Résolution complète

$.\;{dN_{8} \over dt}=-\lambda _{8}*N_{8}\;.$ d'où $.\qquad N_{8}=N_{8o}*e^{-\lambda _{8}*t}\;.$

$.\;{dN_{4} \over dt}=+\lambda _{8}*N_{8}-\lambda _{4}*N_{4}\;.$

On multiplie cette équation par $.\;e^{\lambda _{4}*t}\;.$ il vient:

$.\;{dN_{4} \over dt}*e^{\lambda _{4}*t}+\lambda _{4}*N_{4}*e^{\lambda _{4}*t}=\lambda _{8}*N_{8}*e^{\lambda _{4}*t}\;.$

où on reconnait la dérivée de $.\;N_{4}*e^{\lambda _{4}*t}\;.$

$.\;{d(N_{4}*e^{\lambda _{4}*t}) \over dt}=\lambda _{8}*N_{8}*e^{\lambda _{4}*t}\;.$

$.\;{d(N_{4}*e^{\lambda _{4}*t}) \over dt}=\lambda _{8}*N_{8o}*e^{(\lambda _{4}-\lambda _{8})*t}\;.$; en intégrant:

$.\;N_{4}*e^{\lambda _{4}*t}={\lambda _{8}*N_{8o} \over \lambda _{4}-\lambda _{8}}*e^{(\lambda _{4}-\lambda _{8})*t}+\;\scriptstyle {constante}\qquad .$pour t = o :

$.\;N_{4o}={\lambda _{8}*N_{8o} \over \lambda _{4}-\lambda _{8}}+\;\scriptstyle {constante}\qquad .\qquad \scriptstyle {constante}\displaystyle =N_{4o}-{\lambda _{8}*N_{8o} \over \lambda _{4}-\lambda _{8}}\;.$

$.\;N_{4}*e^{\lambda _{4}*t}={\lambda _{8}*N_{8o} \over \lambda _{4}-\lambda _{8}}*e^{(\lambda _{4}-\lambda _{8})*t}+(N_{4o}-{\lambda _{8}*N_{8o} \over \lambda _{4}-\lambda _{8}})\;.$

$.\;N_{4}={\lambda _{8}*N_{8o} \over \lambda _{4}-\lambda _{8}}*e^{-\lambda _{8}*t}+(N_{4o}-{\lambda _{8}*N_{8o} \over \lambda _{4}-\lambda _{8}})*e^{-\lambda _{4}*t}\;.$

$.\;{N_{4} \over N_{8}}={{\lambda _{8}*N_{8o} \over \lambda _{4}-\lambda _{8}}*e^{-\lambda _{8}*t}+(N_{4o}-{\lambda _{8}*N_{8o} \over \lambda _{4}-\lambda _{8}})*e^{-\lambda _{4}*t} \over N_{8o}*e^{-\lambda _{8}*t}}\;.$

$.\;{N_{4} \over N_{8}}={\lambda _{8} \over \lambda _{4}-\lambda _{8}}+({N_{4o} \over N_{8o}}-{\lambda _{8} \over \lambda _{4}-\lambda _{8}})*e^{(\lambda _{8}-\lambda _{4})*t}\;.$

Commentaires

Situation d'équilibre

$.\;{N_{4} \over N_{8}}={\lambda _{8} \over \lambda _{4}-\lambda _{8}}\;.$ représente la situation à l'équilibre qui peut s'écrire également $.\;{N_{4} \over N_{8}}={\theta _{4} \over \theta _{8}-\theta _{4}}\;.$

On remarque qu'elle est très voisine mais non pas égale à $.\;{N_{4} \over N_{8}}={\theta _{4} \over \theta _{8}}\;.$

Écarts possible par rapport à la situation d'équilibre

Le terme $.\;({N_{4o} \over N_{8o}}-{\lambda _{8} \over \lambda _{4}-\lambda _{8}})\;.$ représente l'écart entre le rapport des concentrations à l'instant zéro et les concentrations atomiques à l'équilibre. Cet écart ne peut matériellement être élevé dans l'uranium naturel.

D'une part, $.\;e^{(\lambda _{8}-\lambda _{4})*t}\;.$ devient rapidement petit, par exemple pour t = 1 000 000 an valeur faible devant la durée nécessaire à la formation d'un minerai d' uranium (en gros 4 demi-vies de l'uranium 234) on trouve $.\;e^{(\lambda _{8}-\lambda _{4})*t}\;.$ = 0,06. Donc si un écart existe par rapport à la concentration d'équilibre dont on voit d'ailleurs mal qu'elle pourrait être son origine;

• d'une part cet écart est faible
• d'autre part il se résorbe assez rapidement à l'échelle géologique