Diskussion:Lp-Raum

Oma-Test

Als Nichmathematiker kann ich hier auch den Oma-Test durchführen: Diese Formel ohne Erklärung versteht kein normaler Mensch und führt bei Nichtbeachtung dieses Hinweise innerhalb von einer Woche zu einem Löschantrag, da man den Verdacht eines Hoaxes hat. --Herrick 09:04, 22. Jun 2004 (CEST)

Ja, aber was soll man machen? Ich wüsste jetzt nicht, wie das „einfacher“ formuliert werden könnte. Jemand, der sich mit der Materie nicht auskennt, wird sich wohl kaum hierher verirren und das dann noch für einen Hoax halten. Wenn jeder Artikel, den man nicht versteht, gelöscht würde, könnte man Wikipedia gleich dichtmachen. --Phst 19:49, 22. Nov. 2006 (CET)

Was Herrick sagt ist leider richtig. Es fehlen Erklärungen. Die Definition unterscheidet Funktionen aufgrund der Potenz mit der das Integral über der Norm beschränkt bleibt hinsichtlich eines Masses. Alle Komponenten der Definition sind nicht eindeutig bestimmt und nur einem Mathematiker bekannt, der die Definition bereits kennt. Der Aussagewert ist also null. Es ist nicht klar, warum ein Wert durch Potenzieren endlich werden soll, wenn er es vorher nicht war und umgekehrt. Im allgemeinen ist die Potenz eines beschränkten Wertes wieder ein beschraenkter Wert. Die Beschränktheit hängt gar nicht von der Potenz ab. Das Riemann-Integral über eine beschränkte Fläche liefert wieder einen beschränkten Wert. Hier beim Lebesgue-Mass findet also etwas Unerwartetes statt. Darauf wird gar nicht eingegangen. Das ist aber das Zentrale der Definition. Bei Reihen ist es nachvollziehbar, dass durch Wurzelziehen die Folge konvergiert. Deshalb ist der Teil verständlich. Aber hier beim Integral findet die ganze Magie wohl im Mass statt, das offensichtlich in der Lage ist einen Pol (nur so Stelle ich mir eine unbeschränkte Funktion vor), so radikal herunterzudruecken, dass eine Funktion mit Pol bis auf eine punktweise Unstetigkeit zu einer beschränkten wird. Die Autoren des Artikels scheinen gar nicht auf das Verständnis des Lesers einzugehen. --ThvAq (Diskussion) 18:16, 15. Dez. 2021 (CET)

am häufigsten

"Am häufgsten tritt der Fall auf ..." Wieso am häufigsten? 217.231.170.164 20:49, 18. Apr 2005 (CEST)

Gemeint ist wohl, dass das in mathematischen Anwendungen der häufigste/wichtigste Fall ist. --NeoUrfahraner 14:31, 27. Jun 2005 (CEST)

wesentliches Supremum

Trotz der Schwere der Materie hilft dieses Artikel ein wenig, Allerdings vermisse ich ein paar Beispiele (anschaulische). Insbesondere das L infinity: ess sup = inf ...sup===> sehr schwer zu verstehen: Genau an der Stelle würde ein Beispiel helfen. Desweitern einer allgemeine Frage sind den die L unendlich und die unendlich Norm (die wo man nur max des Signals macht) 2 verschiedene Sachen??? مبتدئ 04:16, 28. Sep 2006 (CEST)

Hallo مبتدئ, leider sind anschauliche Beispiele bei einem doch ziemlich abstrakten Thema schwierig, aber ich will es hier mal versuchen, also: Wir betrachen $[0,1]$ mit den Borelmengen und dem Lebesgue-Maß und die Funktion

$f:x\mapsto \left\{{\ x\quad x\neq 1 \atop 34\quad x=0}\right.$

dann ist $\|f\|_{\infty }=34$ (normale Supremumsnorm: _Supremum_ der Funktionswerte, das Maximum muss nicht immer existieren) aber $\|f\|_{L^{\infty }}=1$, denn außerhalb der Nullmenge (einelementige Mengen sind hier Nullmengen) $\{1\}$ hat $f$ das Supremum eins und ist $N$ eine beliebige Nullmenge, so enthält $[0,1]\setminus N$ für jedes $\varepsilon >0$ ein Element von $[1-\varepsilon ,1)$, also ist das Supremum von $f|_{[0,1]\setminus N}$ größer oder gleich Eins. Hoffe das half, -- AB, Martini 11:28, 13. Okt. 2006 (CEST)

Eine mMn leichter nachvollziehbare Formel steht im verlinkten Artikel wesentliches Supremum.--Gunther 11:34, 13. Okt. 2006 (CEST)

vielen vielen Dank für die Antworten. Um ehrlich zu sein hat dein Beispiel nur eins bewirkt: ich weiss jetzt dass es sich um 2 verschiedene Normen handelt. Leider weiss ich nicht was borel mengen sind und auch nicht so ganz (oder nicht mehr) was ein Lebesgue-Maß ist. Wie dem auch sei danke nochmal مبتدئ 03:52, 23. Okt. 2006 (CEST)

Banachraum-Definition / "messbar"

Mich würde interessieren, wie in der Banachraum-Definition das "messbar" gemeint ist. Es gibt da ja mehrere Varianten, die i.A. nicht äquivalent sind: Messbar kann "Urbild-messbar" heißen, d.h. die Urbilder messbarer Mengen sind messbar. Es kann aber auch "stark messbar" heißen, d.h. punktweiser Limes von Elementarfunktion, welche wiederum als Urbild-messbare Funktionen mit endlichem Bild definiert sind. Eine Funktion in einen Banachraum (oder metrischen Vektorraum) ist genau dann stark messbar, wenn sie Urbild-messbar sind und ihr Bild separabel ist. Da von Bochner die Rede war, kann man annehmen, dass hier starke Messbarkeit gefordert wird, denn diese Definition benutzte Bochner selbst für seine banachraum-wertigen Integrale. Weiß jmd. was genau hier gemeint ist? (Gockel, 23:32, 14.11.2007)

Ungleichung der verallgemeinerten Mittelwerte

Aus dem Artikel:

• Ist \mu\; ein endliches Maß, gilt also \mu(\Omega)<\infty, so folgt aus der Ungleichung der verallgemeinerten Mittelwerte, dass L^q\subseteq L^p\; für q\geq p\geq 1\;*

Ich habe einige Versuche gemacht, dass ganze über diese Ungleichung zu beweisen, bin aber gescheitert. Selbst wenn ich das ganze nur für eine einfache Funktion betrachte, so stört das 1/n von den Mittelwerten und die Potenz auf das Maß der Urbilder (entsteht wenn ich die Ungleichung anwende).

Andererseits gibt es dafür einen extrem einfachen und kurzen Beweis, der keinerlei besonderer Hilfsmittel bedarf. Wenn mir also niemand erläutern kann, wie man das ganze mittels der Mittelwerte beweisen kann, so werde ich den Teil löschen.

JMK, 84.63.105.27 08:43, 26. Nov. 2007 (CET)

Siehe die letzten drei Zeilen im Abschnitt Ungleichung_vom_arithmetischen_und_geometrischen_Mittel#Ungleichung_der_verallgemeinerten_Mittel. Welchen "extrem einfachen und kurzen Beweis" meinst Du? --NeoUrfahraner 09:16, 26. Nov. 2007 (CET)

Ok, in der Form sehe ich zumindest, wie man da hinkommt, vielen Dank. Aber da ist natürlich trotzdem noch ein wenig Arbeit mit verbunden um das ganze von der normalen Ungleichung auf diese Form zu bringen und überhaupt die normale Ungleichung zu beweisen.

Meine Alternative: Aufteilen von in Mengen A und B, wobei |f|<=1 auf A und |f|>1 auf B. A,B sind als Urbilder von Borel-Mengen insb. messbar und X=A vereinigt mit B. Das Integral von |f|^p über X aufteilen, |f|^p auf A durch 1 abschätzen, auf B durch |f|^q. Das Integral über 1 ist gleich Maß(A)<=Maß(X)<unendlich und das Integral über B ist kleiner gleich dem Integral von |f|^q über X. Beide Terme sind kleiner unendlich, also ist das Integral von |f|^p kleiner unendlich und die Behauptung ist gezeigt. 84.63.105.27 17:35, 26. Nov. 2007 (CET)

Stimmt anscheinend; in der Literatur findet sich aber üblicherweise (zumindest in Adams und in Hewitt/Stromberg) der Beweis mit der Hölder-Ungleichung, der im Wesentlichen mit dem Beweis der Ungleichung der verallgemeinerten Mittel identisch ist. Ich habe "beispielsweise" dazugefügt, um deutlich zu machen, dass der Beweis nicht der einzig mögliche ist. --NeoUrfahraner 20:26, 26. Nov. 2007 (CET)

Ich gestehe aktuell nicht weiter drüber nachgedacht zu haben, evtl. liefert die Ungleichung eine Normäquivalenz oder zumindest eine Abschätzung. Das ist durch die Teilmengenrelation alleine natürlich nicht gegeben. 84.63.115.85 08:28, 27. Nov. 2007 (CET)

Ja, die Abschätzung, die man für das Einbettungsresultat braucht, wird wohl der Grund sein, vgl. en:Lp_space#Embeddings --NeoUrfahraner 10:40, 27. Nov. 2007 (CET)

Vektorwertiger Fall

Hi Ihr, meines Erachtens ist für $L^{p}(X;E)^{*}\cong L^{q}(X;E^{*})$ die Approximationseigenschaft von $E^{*}$ notwendig und hinreichend. Hier wird Reflexivität gefordert ... reicht das? Grüße, --160.45.45.104 09:05, 22. Jan. 2010 (CET)

Nach [1], S.98 ist dies äquivalent zur Radon-Nikodym-Eigenschaft von E, und gemäß S.82 haben reflexive Banachräume die Radon-Nikodym-Eigenschaft. --Tolentino 09:29, 24. Jan. 2010 (CET)

Weiterleitung L1-Norm

Macht es nicht mehr Sinn L1-Norm nach Manhattan-Metrik zu linken? Ich finde das passt wesentlich besser. --Gleu 21:46, 16. Mär. 2010 (CET)

Ne denke ich nicht. Es gibt ja die L1-Norm, diese wird hier beschrieben und es gibt die l1-Norm, welche wohl die Metrik induziert die du verlink hast. Aber die L1-Norm (groß) wird häufiger behandelt. --Christian1985 22:24, 16. Mär. 2010 (CET)

Dem stimme ich voll und ganz zu. --Tolentino 16:27, 21. Mär. 2010 (CET)

OK wusste nicht. Ich habe das Glück hauptsächlich englische Papers (im Bereich Image Processing) zu lesen und da bezieht sich L1 ganz klar auf die Manhattandistanz. Deren Wikipedia ist da aber auch nicht klar: "L1 Norm -> Taxicab geometry" und "L1-Norm -> LP-Space". Vielleicht macht es Sinn das hier aufzunehmen. --Gleu 17:20, 24. Mär. 2010 (CET)

Es wäre durchaus sinnvoll in diesem Artikel ein paar Worte zum Raum $\ell ^{1}$ beziehungsweise zum Raum $\ell ^{p}$ zu verlieren, da diese (eigenständige) Spezialfälle des $L^{1}$ beziehungsweise des $L^{p}$-Raums sind. In diesem Zusammenhang könnte man auch auf die $\ell ^{1}$-Norm eingehen. --Christian1985 (Diskussion) 11:46, 16. Mai 2011 (CEST)

Maßtheorie

Mir ist der Zugang hier etwas zu maßtheoretisch abstrakt. Der am häufigsten auftretende Fall und der die meisten Leser interessieren wird, ist ja doch der, wo die zugrundeliegende Menge eine offene Menge eines $\mathbb {R} ^{n}$ ist, das Maß das Lebesguemaß, die $\sigma$-Algebra die der Lebesgue-messbaren Mengen und der Zielraum $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$.

Diese Fälle kann man gut verstehen, ohne diesen maßtheoretischen Hintergrund. Die Maßtheorie wird für viele dieser Leser eine unnötige Hürde sein. -- Digamma 10:55, 14. Jan. 2011 (CET)

Ja das sehe ich auch so. --Christian1985 (Diskussion) 01:18, 27. Jan. 2011 (CET)

Mal abgesehen von der Komplexität des Artikels, sind die L^p-Räume wirklich für banachraumwertige Funktion definiert? Ich dachte immer es würden nur $\mathbb {C}$-wertige Funktionen betrachtet, denn das Lebesgue-Integral ist ja nur für diese definiert. Die Verallgemeinerung auf banachwertige Funktionen stellt ja dann das Bochner-Integral da. --Christian1985 (Diskussion) 18:15, 14. Feb. 2012 (CET)

L2 Norm und Euklidische Norm

Ich bin mir nicht ganz sicher, aber entspricht die L2 Norm nicht auch der Euklidischen Norm (http://de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Norm)? Oder sind das zwei verschiedene Normen? Ich denke das sollte zumindest hervorgehoben werden.

Nein die L2 entspricht nicht der euklidischen Norm. Der Unterschied liegt schon in der Dimension des zugrundeliegenden Vektorraums. Die euklidische Norm wird meist für endlichdimensionale Räume definiert und der L2-Raum ist unendlichdimensional. --Christian1985 (Diskussion) 18:07, 31. Jan. 2012 (CET)

Ich habe noch einmal etwas recherchiert und habe hier eine wunderbare Erklärung bekommen: http://mathworld.wolfram.com/L2-Norm.html. Es wäre sinnvoll vor allem für Fachfremde in diesem Artikel zu erwähnen, dass es sich nicht um die $\ell ^{2}$ Norm handelt. (nicht signierter Beitrag von 85.181.238.96 (Diskussion) 17:32, 1. Feb. 2012 (CET))

Achso ja, das ist eine gute Idee! Ich denke das sollte schon in Form einer BKL auf L2-Norm differenziert werden. Danke für den Hinweise, ich werde mir was überlegen. --Christian1985 (Diskussion) 17:35, 1. Feb. 2012 (CET)

Der Folgenraum l^p

Die Bedeutung von $\omega$ erschließt sich erst, wenn man im Hauptartikel Folgenraum nachschaut. Das ist ein bisschen unschön. Nomen4Omen (Diskussion) 10:21, 30. Jul. 2012 (CEST)

Es gibt auch die Notation $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$, wäre die weniger erklärungsbedürftig? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 10:32, 30. Jul. 2012 (CEST)

Ja, für mich schon. Nomen4Omen (Diskussion) 10:44, 30. Jul. 2012 (CEST)

Ok. Grundsätzlich kann man die Folgenräume auch für komplexe Zahlenfolgen definieren, aber die Definition eingangs des Artikels beschränkt sich (warum auch immer) derzeit auf reellwertige Funktionen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 10:56, 30. Jul. 2012 (CEST)

Lebesgue-Räume auf Mannigfaltigkeiten

Ich finde die Formulierung eigenartig, dass man L^p-Funktionen nicht mit Karten zurückziehen kann. Was hier wohl gemeint ist, ist dass man auf einer (abstrakten) Mannigfaltigkeit erstmal kein kanonisches Maß hat. Wenn ich auf meiner Mannigfaltigkeit ein Maß gegeben habe, dann kann ich auch ganz gewöhnliche L^p-Räume darauf betrachten. Vielleicht sollte man das ändern in etwas von der Art "Auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten gibt es auch ohne gegebenes Maß eine Möglichkeit, eine Analogie zu dem hier beschriebenen Lp-Räume zu definieren, siehe..." oder so ähnlich. Viele Grüße, --Cosine (Diskussion) 11:37, 24. Okt. 2012 (CEST)

Separable Maßräume

Im Artikel findet sich die Aussage, dass L^p(Omega) separabel ist, wenn Omega ein separabler Maßraum ist. Ich habe den Begriff "separabler Maßraum" noch nicht gehört. Eine Eins-zu-Eins-Übertragung vom Begriff "separabler topologischer Raum" scheint mir auch nicht möglich zu sein (was ist eine dichte Menge in einem Maßraum?)

In jedem Falle ist es so, dass der geneigte Leser nicht informiert wird, was ein separabler Maßraum sein soll und der Link auch nicht hilft, weil dieser nur zu dem separablen topologischen Raum führt. Ich habe mal die Aussage so umgeändert, dass sie sicher stimmt, muss aber zugeben, dass ich mir die angegebene Quelle nicht angeschaut habe. Viele Grüße, --Cosine (Diskussion) 11:33, 5. Dez. 2012 (CET)

Lebesgue Raum für unterschiedliche Sigma-Algebren.

Bei den Eigenschaften könnte hinzugefügt werden, dass $L^{p}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ Teilmenge von $L^{p}(\Omega ,{\mathcal {B}},\mu )$ ist für ${\mathcal {A}}$ Teilmenge von ${\mathcal {B}}.$ (nicht signierter Beitrag von 188.108.89.59 (Diskussion) 14:09, 4. Mär. 2013 (CET))

Integralkriterium irreführend`

Im Beispiel wird gezeigt, dass das Integral 1/x von 1 bis unednlich divergiert, indem man das Integralkriterium bemüht. Das ist zwar logisch in Ordnung, aber eigentlich fürchterlich übertrieben, weil man 1/x ja auch direkt integrieren kann. Dass die harmonische Reihe divergiert, ist eigentlich viel komplizierter zu sehen und wird in manchen Analysisbüchern mit Hilfe des Integralkriteriums gezeigt (ich weiß, es geht auch anders). Somit wird hier eine eigentlich einfache Aussage auf eine kompliziertere zurückgeführt. Mein Vorschlag wäre, das Integralkriterium rauszuwerfen und direkt mit den Stammfunktionen zu argumentieren. Meinungen? --Cosine (Diskussion) 13:59, 16. Aug. 2013 (CEST)

Überschriften der ersten beiden Abschnitte

Habe gerade eben die Überschriften so umgestaltet, dass man auf den ersten Blick die mMn wichtigste Definition (von $L^{p}$) findet. Dabei ist das Wort "Faktorraum" unterschlagen worden, weil ich es nicht für so wichtig halte, dass es in die Überschrift gehören würde. Wenn die Mehrheit der Ansicht ist, dass das Wort unbedingt, in der Überschrift stehen muss, dann sollte auch irgend ein bezeichnendes Wort vor ${\mathcal {L}}^{p}$ stehen. Dafür ist mir aber nur "Vektorraum" und "Raum der Messbaren Funktionen" eingefallen, was ich aber für nicht von (intuitiv) essentieller Bedeutung bzw. für zu lang halte. Einzig "Funktionenraum" könnte ich mir vorstellen, aber das ist ziemlich nichtssagend.--Das O2 (Diskussion) 14:49, 10. Nov. 2014 (CET)

Beispiel Sobolev-Räume quadratintegrierbarer Funktionen

Ich sehe hier weder einen Sobolev-Raum, noch quadratintegrierbare Funktionen. Was wohl stimmt, ist, dass im Fall $p=2$ (dann wären wir bei quadratintegrierbar, aber das steht hier nicht) der hier angegebene Raum $L^{2}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),(1+\|\xi \|^{2})^{\frac {s}{2}}\lambda )$ (ein dichter Unterraum von $L^{2}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),\lambda )$) unter der Fourier-Transformation (einem unitären Automorphismus von $L^{2}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),\lambda )$) bijektiv auf den Sobolev-Raum $H^{s}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)=W^{s,2}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ (ebenfalls ein dichter Unterraum von $L^{2}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),\lambda )$) abgebildet wird. Ich würde die Überschrift des Beispiels in „Sobolev-Räume zum Exponenten p=2“ ändern und das mit der bijektiven Entsprechung unter der Fourier-Transformation klarstellen. Weil das Beispiel aber schon fast drei Jahre in diesem Artikel steht und viele Änderungen überlebt hat, wollte ich mich nochmal rückversichern, dass ich hierbei nichts übersehen habe. --DufterKunde (Diskussion) 11:53, 21. Jan. 2015 (CET)

Weil sich nach ein paar Tagen hier nichts getan hat, hab ich die Änderung mal eingebaut. Was die Darstellung betrifft, bin ich noch nicht ganz zufrieden. Es ist etwas umständlich geworden. Aber es sollte jetzt zumindest richtig sein. Ich würd mich freuen, wenn das noch jemand aus seiner Sicht kommentieren könnte. --DufterKunde (Diskussion) 19:31, 25. Jan. 2015 (CET)

Beispiel L^2 Funktion

Die Funktion ${\frac {1}{x}}$ ist nicht in $L^{2}$ ! Auch wenn ich leider den Fehler im Beweis nicht sehe... (vgl. zum Beispiel Hilbert Space Methods in Quantum Mechanics von Werner O. Amrein example 2.48). --Aaron Schaal (Diskussion) 13:42, 4. Apr. 2016 (CEST)

@Aaron Schaal: Du musst schon schreiben, was Du genau meinst. Ich nehme an, Du beziehst Dich auf das Beispiel im Abschnitt „Der Hilbertraum L²“, oder? Schau Dir jeweils den Definitionsbereich an. Solange man von der Null wegbleibt, sollte es kein Problem sein. Hier wird die Funktion auf dem Intervall $\left[1,+\infty \right[$ betrachtet. Wahrscheinlich ist der Definitionsbereich in der von Dir genannten Referenz ein anderer (z. B. $\left[0,+\infty \right[$ oder $\mathbb {R}$). --DufterKunde (Diskussion) 15:00, 4. Apr. 2016 (CEST)

@DufterKunde: Ach ja, jetzt weiß ich, was der Unterschied ist: In der von mir angeführten Quelle wird ${\frac {1}{x}}$ als $\mathbb {R} ^{3}$ Funktion betrachtet und nicht als eindimensionale Funktion. Im dreidimensionalen ist nämlich gerade der langsame Abfall im Unendlichen nicht quadratintegrierbar, im eindimensionalen natürlich schon! Insofern ist alles korrekt... --Aaron Schaal (Diskussion) 16:43, 4. Apr. 2016 (CEST)

p-fach integrierbar

Im ersten Satz steht »spezielle Räume, die aus allen p-fach integrierbaren Funktionen bestehen.« Wie ist das gemeint? Unter 4.2 ist ja ein Beispiel zu sehen, wo die Funktion in $L^{2}$, aber nicht in $L^{1}$ liegt. Der erste Satz klingt für mich als wäre $L^{2}$ Unterraum von $L^{1}$. --W.pseudon (Diskussion) 19:01, 3. Okt. 2019 (CEST)

Ich denke, "speziell" ist hier nur im Vergleich mit dem Raum aller Funktionen auf der entsprechenden Definitionsmenge gemeint. Woraus entsteht dein Eindruck, dass damit gemeint sei, dass $L^{2}$ ein Unterraum von $L^{1}$ sei? --Digamma (Diskussion) 19:15, 3. Okt. 2019 (CEST)

Problem mit Separabilität

I am sorry I don't speak German so I can't edit but I noticed a mistake on the page. The fact that the measure space is separable is not enough for Lp to be separable, the measure also has to be sigma-finite. Here is a proof: https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4614-6956-8, proposition 3.4.5. For a counter-example, take the counting measure on Lp([0,1]). --EtienneC30 (Diskussion) 01:48, 9. Nov. 2023 (CET)