Dyskusja:Linia geodezyjna

Błąd - linia geodezyjna jest tylko lokalnie najkrótszą drogą pomiędzy punktami na powierzchni. Definiuje się ją jako krzywą, której krzywizna geodezyjna we wszystkich punktach jest równa 0. Scythian 21:35, 3 sie 2007 (CEST)

Rzeczywiście, jeśli weźmiemy helisę na powierzchni bocznej walca, to choć jest geodezyjną, to nie jest najkrótszą droga pomiędzy dwoma swoimi punktami, gdy leżą na przykład na tej samej prostej równoległej do osi walca. Poprawiam. Olaf @ 22:56, 3 sie 2007 (CEST)

Już na sferze to nie działa. Biorąc dwa punkty leżące na kole wielkim sfery, ale nie dokladnie po przeciwnych stronach, dłuższy z łukow tego koła nie stanowi najkrótszej drogi między tymi punktami, choć kolo wielkie jest geodetyką. Scythian 01:00, 5 sie 2007 (CEST)

Na sferze działa. Najkrótsza droga pomiędzy dwoma dowolnymi punktami koła wielkiego zawiera się w tym kole wielkim, tak jak dla przestrzeni euklidesowej odcinek zawiera się w prostej. To będzie działać dla wszelkich przestrzeni, gdzie przez dwa różne punkty przechodzi tylko jedna geodezyjna, bo najkrótsza droga zawsze prowadzi po geodezyjnej. Tylko twierdzenie odwrotne nie zawsze jest prawdziwe i stąd był problem. Olaf @ 14:47, 5 sie 2007 (CEST) Jeszcze uściśliłem, żeby było wiadomo, że chodzi o zawieranie przez geodezyjną najkrótszej drogi, inaczej to faktycznie nawet prosta euklidesowa nie byłaby geodezyjną. Oczywiście można wyrzucić tę definicję i poprzestać na informacji o zerowej krzywiźnie geodezyjnej, ale potencjalnemu czytelnikowi nic to nie powie, a tak można sobie wyobrazić o co chodzi. Olaf @ 14:49, 5 sie 2007 (CEST)

Początek artykułu czytelnika wprowadza w błąd. Należy dawać definicje obowiązujące w matematyce, a nie ich amatorskie przybliżenia i wariacje. W danym wypadku należy zacząć od kowariantnej pochodnej (nowszy język) czyli od koneksji afinicznej (starszy język; przy okazji można mówić o przesunięciu równoległym wzdłuż krzywych w rozmaitościach z koneksją afiniczną). Metryka w zasadzie nie ma tu nic do rzeczy. Tyle, że dla rozmaitości Riemanna tenzor podstawowy (tenzor metryczny) indukuje kowariantną pochodną, co pozwala zdefiniować geodezyjną tak jak dla ogólniejszych rozmaitości. Wtedy geodezyjne są lokalnie najkrótszymi połączeniami.

Poza tym na gruncie czysto metrycznym, Buseman wprowadził G-przestrzenie (?), w których narzuca na ogólne przestrzenie metryczne dodatkowe warunki w terminach czysto metrycznych tak by trzymać analog geodezyjnych w abstrakcyjnych przestrzeniach metrycznych.

W każdym razie w geometrii różniczkowej akcent przy definiowaniu geodezyjnych jest na byciu (w ogólnym sensie) linią prostą (pojęcie lokalne), a tylko wtórny na minimalizacji długości krzywej. Pozdrawiam, 08:19, 15 paź 2007 (CEST)

A ja radzilbym przeczytac definicje w wersji angielskiej zamiast wymyslac "droge..nie dająca się już wydłużyć z żadnej strony". Och, wciórności!

Poza tym, linie geodezyjna nazywamy skrotowo "geodetyka". Ech... +Jarek+

Sekcja "Sfera obliczenia tensora metrycznego" Mylące oznaczenia zmiennych w równaniu sfery y^1, y^2, y^3,index górny sugeruje potęgę zmiennych. Błąd w podanym wyniku obliczeń złe indeksy dla ostatniej z wartości r^2sin^2\theta, indeksy powinny być o wartościach 2,2