Hopp til innhold

Euklid

Rediger lenker
Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
«Euklid» har flere betydninger.
Euklid
FødtΕὐκλείδης
4. århundre f.Kr.[1]Rediger på Wikidata
Død285 f.Kr.[2]Rediger på Wikidata
Alexandria (hypotese)
BeskjeftigelseMatematiker, skribent Rediger på Wikidata
NasjonalitetAntikkens Athen
Euklid på Commons

Euklid eller Evklid (gresk: Εὐκλείδης – Eukleídēs; levde omkring 300 f.Kr.[3]) var en gresk matematiker som virket i Alexandria. Han er omtalt som «geometriens grunnlegger»[4], «geometriens far»[5] og «den mest innflytelsesrike matematiker noesinne».[4] Euklids mest kjent verk, Elementer, er blitt karakterisert som «den største og mest betydningsfulle lærebok i matematikk som er skrevet».[6] Den systematiske oppbyggingen av læreverket, med bruk av postulater, definisjoner, setninger og bevis, har hatt svært stor betydning for all senere matematikk.

Lite er kjent om Euklids liv. Den lille kunnskapen vi har, stammer i all hovedsak fra Det evdemiske sammendraget til Proklos. Opprinnelige greske utgaver av Euklids verker har også mer eller mindre gått tapt. Elementer ble bevart i arabiske oversettelser og fra disse oversettelsene gjenintrodusert til europeisk kultur. Euklid skrev også om andre emner enn matematikk, for eksempel om astronomi og optikk.

Geometri basert på Euklids postulater fra Elementer er i ettertiden kalt euklidsk geometri. I mange tusen år ble postulatene oppfattet som selvinnlysende, inntil matematikere på 1800-tallet viste at alternative ikke-euklidsk geometrier er mulig.

Kilder

[rediger | rediger kilde]

Den nyplatonske filosofen Proklos er hovedkilden til kunnskapen om Euklid. Han levde på 400-tallet etter Kristus, over sju hundre år etter Euklid. Proklos skrev et kommentarverk til bok I av Elementer, og i dette har han en introduksjon med et sammendrag av et tidligere historieverk, Evdemos' Geometriens historie. Dette historieverket har gått tapt, og alt som finnes igjen er Proklos' sammendrag, i ettertiden kalt Det evdemiske sammendraget.[7][8] Dette har en kort omtale av Euklid.[3]

I tillegg til omtalen til Proklos, er Euklid nevnt mer eller mindre sporadisk av andre kilder, inkludert Arkimedes og Pappos. På samme måte som Proklos var det en rekke forfattere som skrev kommentarverk til Elementer, inkludert Heron, Pappos, Porfyrios og Simplicius.[6] Den første kjente romerske kilden som nevner Euklid, er Cicero. Antagelig var ikke Elementer oversatt til latin på Ciceros tid, da teoretisk geometri ikke vekte særlig interesse blant romerne.

Flere arabiske kilder gir biografiske opplysninger om Euklid, men disse er vurdert som lite troverdige.[3] Kildene reflekterer arabisk tendens til å ville knytte kjente grekere til østen, og også en arabisk vektlegging av stamtreet til kjente personer. Arabiske kilder gir også en feilaktig tolking an navnet Euklid, som de gjengir som Uklides eller Ikludes. Navnet ble tolket som sammensatt av Ukli («nøkkel») og dis («mål» eller «geometri») og skulle altså bety «nøkkelen til geometri».

I mange kilder fra middelalderen er Euklid omtalt som Evklid fra Megara, men dette er en sammenblanding med en filosof som levde samtidig med Platon.[3] Den første kjente forekomst av denne sammenblandingen er fra Valerius Maximus, som i første århundre etter Kristus skriver at Platon sendte bud på Euklid for å få hjelp til problemet med kubens fordobling.

[rediger | rediger kilde]

Navnet Euklid var relativt vanlig i antikkens Hellas, og flere personer med dette navnet er omtalt i kilder. For å poengtere hvilken Euklid det er snakk om, kalles matematikeren også for Euklid fra Alexandria. Navnet er sammensatt av Εὐ («god»), κλέος («ære») og patronym-endingen ἴδης.[9] Som helhet kan navnet tolkes som «den ærerike».

Biografi

[rediger | rediger kilde]
Euklid ved sine geometriske studier. Relieff fra kampanilen ved domkirken i Firenze. Relieffet er laget av Nino Pisano på 13-hundretallet.

Fødested til Euklid er ikke kjent.[3][4] Når noen biografier i dag oppgir Alexandria som fødested,[10] må dette betraktes som en gjetning. Proklos har ikke hatt kunnskap om Euklids fødested og leveår. Alt han gir er et omtrentlig levetidspunkt, ved å relatere Euklid til andre greske personer. Euklid skal ha levd i «Ptolamaios' tid», en referanse til Ptolemaios I Soter, som regjerte fra 306 til 283 f.Kr. Det kan også fastslås med sikkerhet at Euklid virket før Arkimedes og Eratostenes, men etter de første elevene til Platon. Arkimedes levde fra 287 til 212 f.Kr., og Platon døde rundt 348 f.Kr. Fra dette kan en fastslå at Euklid må ha levd og virket omkring 300 før Kristus. Fødselsåret er blitt anslått til omkring 325 f.Kr. og dødsåret til ca. 265 f.Kr.[8][10]

Den egyptisk-arabiske historikeren al-Qifti (død 1248) hevder at Euklid ble født i Tyr i Libanon og betraktet Damaskus som sin hjemby, men dette regnes som en tvilsom kilde.[3] Samme kilde oppgir også at far til Euklid skal ha hatt navnet Naukrates.

Proklos framstiller Euklid som platoniker, men dette er usikkert. Det er likevel sannsynlig at Euklid fikk matematisk opplæring i Athen, fra Platons elever. Ikke så mange andre kunne ha gitt Euklid den nødvendige opplæringen. I verkene til Euklid finner en ingen spor av den metafysiske tankegangen til Platon, som betraktet geometriske former som grunnleggende elementer i universet. Euklid er kanskje mer farget av Aristoteles og hans logikk-lære.[11]

Pappos forteller at Apollonoios «oppholdt seg lenge hos Euklids elever i Alexandria». Dette er grunnlaget for å si at Euklid dannet en skole i Alexandria. Biblioteket i Alexandria ble opprettet av Ptolemaios I eller av sønnen og etterfølgeren Ptolemaios II, omtrent på den tiden da Euklid var i byen. Det er ikke usannsynlig at Ptolemaios I hentet Euklid til Alexandria, som et ledd i dette arbeidet.[8] Ifølge Proklos er det Ptolemaiois I som skal ha spurt Euklid om det finnes en enklere vei for å lære geometri enn gjennom Elementer, hvorpå Euklid skal ha svart at «det er ingen kongelig vei til geometri».

Heller ikke hvor Euklid døde er kjent med sikkerhet, selv om det er antatt at han ble værende i Alexandria og døde der.[4]

Ut fra den grundige oppbyggingen av læreboka Elementer kan en anta at Euklid har vært en god pedagog. En fortelling om pedagogen Euklid er fortalt av Stobaios: En av Euklids elever, etter å ha lært det første teoremet, skal ha spurt læreren om nytten av å studere matematikk. Euklid tilkalte en slave en slave og sa: «Gi ham en obol, siden han føler han må tjene på det han lærer».[3][8] En obol var en mynt som svarte til seks drakmer.

Mangel på biografiske kilder har fått enkelte til å spekulere i om Euklid ikke er en historisk person, men at navnet har vært et pseudonym som har vært benyttet av flere matematikere fra Alexandria. En annen hypotese er at personen Euklid har ledet en gruppe matematikere som alle har bidratt til verkene. Et argument for begge disse teoriene er en variasjon i skrivestil som en kan finne i verkene. En slik variasjon er imidlertid ikke uvanlig også fra en og samme forfatter, og tilhengerne av disse teoriene er i mindretall.[8][10]

Euklid er kjent som lærer og forfatter, men selv er ikke Euklid blitt tillagt nye matematiske resultater.[12] Det som i dag kalles Euklids algoritme i tallteori, var kjent lenge før Euklid.[13]

Elementer

[rediger | rediger kilde]

Utdypende artikkel: Euklids Elementer

Det er vanlig å tilskrive personen Euklid æren for å ha skrevet Elementer, selv om det historisk grunnlaget for dette er spinkelt. Verket består av 13 bøker, ofte nummerert med romertall. De fire første bindene omhandler plangeometri. Bind V til bind IX drøfter en form for tallteori, men i geometrisk form. Bind X behandler inkommensurable størrelser. Bind XI-XIII tar for seg romgeometri. Det eksisterer også to tilleggsbind som i middelalderen feilaktig ble inkludert i Elementer, men disse to bindene tror en i dag er skrevet av henholdsvis Hypsikles og Isidoros fra Milet.[14] Hypsikles levde i den andre århundre før Kristus, mens Isidoros levde i det femte århundre etter Kristus.

Mesteparten av stoffet i Elementer var kjent før Euklid, og verket er i hovedsak basert på materiale fra andre greske matematikere. Storparten av materialet i bind I og II var kjent fra pytagoreerne.[15] Teorien i bind III og VI var kjent på Hippokrates' tid. Innholdet i bind V er alminnelig antatt å komme fra Evdoksos. Euklid skriver selv ingenting om opphavet til de ulike delene av verket.

Det store bidraget til Euklid er systematikken, med den stegvise oppbyggingen av en helhetlig teori, basert på et grunnleggende sett av postulater og definisjoner. Bruken av grunnbegreper er farget av vitenskapslæren til Aristoteles, som skilte skarpt mellom postulater og bruk av «allmenn innsikt» eller aksiomer. Aksiomer var betraktet som mer selvinnlysende utsagn, som alle ville være enig i. Postulater kunne være mindre opplagte og gjorde ikke krav på allmenn aksept, men ble tatt som forutsetning i en gitt undersøkelse.[16] Det er vanlig å framstille Elementer som i bind I å inneholde fem postulater og fem «allmenne innsikter».[17][18][19] Kildene er imidlertid ikke konsistente om dette, og noen kilder grupperer alle ti sammen. I nyere matematikk er det ikke vanlig å skille mellom «postulater» og «aksiomer».[16]

Elementer er basert på syntese, ved alltid å bygge på kjente og beviste setninger, og fra disse utlede nye resultater.[20] Der det har vært nødvendig for sammenhengen, har Euklid konstruert nye bevis, hvis rekkefølgen i verket har gjort at kjente bevis ikke har fungert. Respekt for tradisjonen viser seg ved at han tar med enkelte eldre resultat som ikke blir brukt videre i verket.[3]

Elementer var ikke et forsøk på å samle all tilgjengelig kunnskap, men en lærebok i matematikk, tenkt som en introduksjon til emnet.[12]

Det greske navnet på Elementer er Stoikheion, et ord som kunne bety både «bokstaver i alfabetet», «geometriske former» og «byggesteiner».[21] Euklid er ofte omtalt som stoikheiotes istedenfor ved navn, det vil si som «forfatter av Elementer». Flere greske matematikere hadde gitt ut verk med samme navn før Euklid, men ingen av disse verkene er bevart. Platon brukte ordet stoikheion ofte, om en type grunnleggende kosmologiske elementer som bygger opp alle ting.

Andre verk

[rediger | rediger kilde]

I tillegg til Elementer har en bevart flere andre av Euklids verk:

  • Data. Dette verket drøfter hva det vil si at data er «gitt» i geometriske problem, og innholdet ligger tett opp til de fire første bøkene i Elementer. Fra et «gitt» linjestykke vil det for eksempelvære mulig å lage kopier.[22]
  • Om deling (av figurer). Verket er bare ufullstendig kjent, fra arabiske oversettelser.[23] Verket diskuterer oppdeling av figurer, etter gitte krav og spesifikasjoner.
  • Phenomena. Omhandler sfærisk astronomi. Dette verket er bevart på originalspråket gresk.[24]
  • Optikk. Om perspektiv og synsinntrykk. Euklid følger en tradisjon etter Platon og beskriver at synsinntrykk oppstår ved at øyet sender ut stråler, som reflekteres fra objektet en ser på.[25]
  • Catoptrica («Om speil»). Dette verket har blitt tillagt Euklid, men det er mer sannsynlig at det er skrevet av en annen forfatter, kanskje Teon fra Alexandria.[25]
  • Elementer av musikk. Dette verket er tillagt Euklid av Proklos og av Marinos. To verk som kan svare til denne beskrivelsen er bevart, men det er usikkert om Euklid er forfatteren.[26]

I tillegg kjenner en flere verk av Euklid av omtale, men dette er verk som ikke er bevart i dag:

  • Kjeglesnitt. Ifølge Pappos skrev Euklid fire bøker om kjeglesnitt, og disse ble komplettert av Apollonios, som skrev fire tilleggsbind. Antagelig var Euklids bøker om kjeglesnitt alt tapt på Pappos' levetid.[27]
  • Porismata. Innholdet i verket er bare kjent gjennom en beskrivelse fra Pappos.[28] En hypotese er at verket var et biprodukt av arbeidet med kjeglesnittene, med drøfting av kurver. Tolkingen av tittelen på verket er omdiskutert. En «porisme» kunne ifølge Proklos bety to ulike ting: Det kunne tilsvare et korrolar, en slutning som kan utledes fra en større setning.[29] Den andre betydningen - som antagelig er brukt i tittelen på Euklids' verk - er uklar, omtalt av Proklos som «verken problem eller teorem». En tolking er at en porisme er «ufullstendige teorem som uttrykker en relasjon mellom variable». Dette kan være det nærmeste gresk matematikk kom ligninger for å beskrive en kurve.[30] Porismata var et avansert verk, og Thomas Heath omtaler det som «kanskje det viktigste av alle Euklids verk».[28]
  • Psevdaria. Proklus kaller dette verket «Boken om feilslutninger». Dette var antagelig et verk om elementær geometri, med presentasjon av korrekte og feilaktige logiske slutninger.[31]
  • Flatepunkt. Også tittelen på dette verket er uklar.
  • Arabiske kilder tillegger Euklid også forfatterskapet til flere bøker om mekanikk, inkludert Boken om det tunge og det lette.[32]

Verkene Porismata og Flatepunkt skal ha inngått i en samling omtalt av Proklos og Pappos som «Analysens skattkiste».[30][28] Også verk av Aristaios og Appolonios skal ha vært inkludert i denne samlingen. Ifølge Pappos skal samlingen ha vært spesiell verdifull for alle som ønsket å løse problemer som involverte kurver.

Euklid i ettertiden

[rediger | rediger kilde]

Overlevering av verkene

[rediger | rediger kilde]
Et av de eldste fragmentene av Elementer, med tekst på gresk. Fra 75-125 e.Kr.

Som tidligere nevnt var det en rekke matematikere som skrev kommentarverk til Euklids Elementer. Teon fra Alexandria (ca. 335-405 e.Kr.) reviderte Elementer, både språklig og innholdsmessig. I revisjonen fyller han ut steg i bevisene og ga alternative bevis. Det er Teons versjon som er bevart i de fleste greske fragmentene vi i dag har at verket.

Noen eldre kilder hevder at Boëthius (ca. 480-525) oversatte Euklid til latin. Det geometriske verket som i dag er kjent etter Boëthius, er imidlertid høyst sannsynlig satt sammen fra flere kilder på 1100-tallet. Verket inneholder et fåtall deler av de fire første bindene av Elementer. Tegn tyder på at den som laget sammensetningen, kan ha hatt tilgang til eldre oversettelser til latin, av uvisst opphav.[33]

Til den arabiske verden kon Elementer i det åttende århundre, ved utveksling med det østromerske riket. Flere arabiske oversettelser av deler av verket er bevart. Fra arabisk ble verket igjen oversatt til latin, blant annet av Adelard fra Bath (ca.1075-1160) og Gerard fra Cremona (ca. 1114-1187).[34]

Den første trykte utgaven av Elementer ble gitt ut i Venezia i 1482.[35] En fullstendig utgave på engelsk kom første gang i 1570, i oversettelse av Henry Billingsley. En viktig oversettelse til latin ble utført av Isaac Barrow i 1655, fulgt av en engelsk versjon i 1660. Barrow var professor ved universitetet i Cambridge.

François Peyrard (1760-1822) oversatte Elementer til fransk. Under arbeidet fant Peyrard i Vatikanet en versjon av Elementer som ikke inneholdt Teons revisjoner. Det er antatt at denne versjonen er eldre enn Teons. Versjonen er i dag omtalt bare som «P», til ære for finneren.[36]

Den italienske misjonæren Matteo Ricci oversatte på begynnelsen av 1700-tallet deler av Elementer til kinesisk, fra en latinsk versjon. Tidlig på 1800-tallet ble det også laget en versjon på sanskrit, basert på en arabisk versjon.[37]

En nyere oversettelsen til engelsk ble gjort av Thomas Heath, gitt ut første gang i 1908.

En generell utfordring med Euklids verker har vært å forsøke å føre disse tilbake til originalversjonene. Oversettelser, tillegg og andre redigeringer gjør at verkene finnes i mange ulike utgaver.

Elementer som lærebok

[rediger | rediger kilde]

Fram til 1200-tallet ble studiet av matematikk i Europa for en stor del neglisjert. Da de første universitetene ble grunnlagt i middelalderen, ble studiet av matematikk svært ofte en del av undervisningen. I de frie kunstene som var grunnlaget for undervisningen, inngikk aritmetikk og geometri. Euklids Elementer ble en viktig lærebok, men hvor mye som krevdes, kunne variere fra universitet til universitet. Undervisning basert på Elementer ble gitt i Wien (grunnlagt 1365), Heidelberg (1386) og i Køln (1388). Wien krevde gjennomgang av første bind for lavere grad, men kjennskap til de fem første bindene for å få lisens til å undervise. I Paris ble undervisning i geometri på 1300-tallet neglisjert, mens ved universitetet i Praha ble det til den høyere graden krevd at en hadde gjennomgått de seks første bindene av Elementer. I Oxford, midt på 1500-tallet, var studiet av de to første bindene obligatorisk.[38]

Isaac Newton skal ha kjøpt sin første utgave av Elementer i 1662 eller 1663, og han startet matematikkstudiet i 1664.

Euklidsk geometri

[rediger | rediger kilde]

Geometri basert på Euklids postulater i Elementer er i dag kalt euklidsk geometri. Ettertiden har erkjent at grunnlaget som Euklid la for geometrien, ikke er tilstrekkelig rigorøst. For å rette på dette, er det foreslått flere moderne versjoner av aksiomene for euklidsk geometri, blant annet av David Hilbert i 1899.[39]

I planet begrenset Euklid seg i Elementer til studiet av punkt, linjer og sirkler, mens det i dag ikke ligger noen begrensning hvilke typer objekter en studerer i euklidsk geometri. I tradisjonen etter Euklid har en skilt mellom elementær geometri (punkt, linjer, sirkler) og høyere geometri (kjeglesnitt, transendentale kurver).[40] Geometrisk konstruksjon er i elementær geometri begrenset til kun å omfatte konstruksjoner som lar seg gjennomføre med passer og linjal. Disse hjelpemidlene kan også bare brukes i overensstemmelse med Euklids postulater og kalles da euklidske hjelpemidler. Detaljer om hvordan disse reglene kom til å bli etablert er ikke kjent, men de ble praktisert før Euklid virket. Tradisjonen har knyttet opphavet til Platon, men det er tegn på at reglene var i bruk også før Platon.[41][42] Platon mente at linjer og sirkler var mer ideelle objekter enn andre typer kurver.

Elementer fikk svært stor betydning for overføring av gresk matematikk til resten av Europa og for revitaliseringen av matematikk i middelalderen. Begrensningene som er innebygget i verket, var kanskje også et hinder for videreutvikling av nyere matematiske retninger. Carl Boyer spekulerer i om kanskje noen av Euklids verker som i dag er tapt, har hatt større betydning for utvikling av analytisk geometri, for eksempel Porismata og Flatepunkter.[30]

Parallellpostulatet

[rediger | rediger kilde]

Euklids fire første postulater ble lenge betraktet som selvinnlysende. Det femte, parallellpostulatet, skapte imidlertid hodebry og kontroverser. Mange matematikere var misfornøyd med dette postulatet og forsøkte enten å finne alternative formuleringer eller å bevise det ved hjelp av de fire første postulatene. Både Ptolemaios og Proklos forsøkte å finne et slikt bevis.

Diskusjonen om parallellpostulatet skulle forfølge matematikere i flere tusen år. Først med utviklingen av ikke-euklidsk geometrier i første halvdel av 1800-tallet ble det vist at postulatet ikke er nødvendig. Geometri basert kun på de fire første (reviderte) postulatene kalles nøytral geometri. Ved å erstatte parallellpostulatet, kan en definere alternative ikke-euklidske geometrier.[39]

Referanser

[rediger | rediger kilde]
  1. ^ Dictionnaire des philosophes antiques III, side(r) 255[Hentet fra Wikidata]
  2. ^ Autorités BnF, BNF-ID 11901997s, besøkt 27. november 2022[Hentet fra Wikidata]
  3. ^ a b c d e f g h T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.354ff
  4. ^ a b c d Leonard C. Bruno, Lawrence W. Baker (1999). Math and mathematicians : the history of math discoveries around the world. 1. Detroit: U X L. s. 125. ISBN 978-0-7876-3813-9. 
  5. ^ «Who is Euclid». The Story of Mathematics. Besøkt 17. april 2021. 
  6. ^ a b T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.358
  7. ^ T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. II) s.530
  8. ^ a b c d e A. Holme: Matematikkens historie (Bind 1) s.259ff
  9. ^ «Euclid». Behind the Name. Besøkt 16. april 2021. 
  10. ^ a b c «Euclid of Alexandria». MacTutor. Besøkt 16. april 2021. 
  11. ^ Carl B.Boyer (1959). The history of the calculus and its conceptual development. New York: Dover Publications. s. 45-46. ISBN 0-486-60509-4. 
  12. ^ a b C.B.Boyer: A history of mathematics s.115
  13. ^ Hans Niels Jahnke, red. (2003). A history of analysis (A history of matematics vol.24). American Mathematical Society. s. 13. ISBN 0-8218-2623-9. 
  14. ^ T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.419ff
  15. ^ T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.153
  16. ^ a b C.B.Boyer: A history of mathematics s.116
  17. ^ Ottar Ytrehus (1976). Matematikkens historie. Oslo: Skolesjefen i Oslo, Avdeling for pedagogisk utviklingsarbeid. s. 129. 
  18. ^ A. Holme: Geometry. Our cultural heritage. s.69ff
  19. ^ «Euclid, Elements». Perseus Digital Library. Besøkt 18. april 2021. 
  20. ^ T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.371
  21. ^ Pia de Simone (2020). «Plato’s use of the term stoicheion. Origin and implications». Rev. Archai. 30. 
  22. ^ T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.421
  23. ^ T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.425
  24. ^ T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.440
  25. ^ a b T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.441ff
  26. ^ T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.444
  27. ^ T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.438
  28. ^ a b c T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.431ff
  29. ^ T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.372
  30. ^ a b c Carl B.Boyer (2004). History of analytical geometry. New York: Dover Publications. s. 22f. ISBN 0-486-43832-5. 
  31. ^ T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.430
  32. ^ T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.445
  33. ^ T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.359
  34. ^ T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.361ff
  35. ^ T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.364
  36. ^ T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.360
  37. ^ «A Cross-Disciplinary Study of Euclid’s Elements». UiO. Besøkt 18. april 2021. 
  38. ^ T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.368
  39. ^ a b A. Holme: Geometry. Our cultural heritage. s.167f
  40. ^ A. Holme: Geometry. Our cultural heritage. s.135
  41. ^ Carl B.Boyer (2004). History of analytical geometry. New York: Dover Publications. s. 13-14. ISBN 0-486-43832-5. 
  42. ^ T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.288

Litteratur

[rediger | rediger kilde]
  • Carl B.Boyer (1968). A history of mathematics. Princeton, USA: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-691-02391-3. 
  • Thomas Heath (1981). A history of Greek mathematics. I og II. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-24073-8. 
  • Audun Holme (2008). Matematikkens historie. 1. Bergen: Fagbokforlaget. ISBN 978-82-450-0697-1. 
  • Audun Holme (2002). Geometry. Our cultural heritage. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-41949-7. 

Eksterne lenker

[rediger | rediger kilde]

Om Euklid

[rediger | rediger kilde]

Om Euklids verker

[rediger | rediger kilde]
  • «Byrne's Euclid» (på engelsk). Nicholas Rougeux. Besøkt 18. april 2021.  Nettutgave av Elementer i Oliver Byrnes oversettelse fra 1847
  • «Euclid, Elements» (på engelsk). Perseus Digital Library. Besøkt 18. april 2021.  Nettutgave av Elementer i Thomas Heaths oversettelse
Hentet fra «https://no.wikipedia.org/w/index.php?title=Euklid&oldid=22653675»