Euler-Mascheronis konstant

Den blå delen representerer Euler-Mascheronis konstant som differensen mellom den harmoniske rekken (areal av rektangler) og den naturlige logaritmen log x (areal under kurven 1/x vist i lilla farge).

Euler-Mascheronis konstant (også omtalt som Eulers konstant) er en matematisk konstant som er viktig i matematisk analyse og tallteori. Den blir betegnet med en liten, gresk gamma γ og er definert som grensen av differensen mellom det n-te harmoniske tallet H_n og den naturlige logaritmen lnn for store n,

$\gamma =\lim _{n\to \infty }{\Big (}H_{n}-\ln n{\Big )}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\Big (}1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\dots +{\frac {1}{n}}-\ln n{\Big )}$

Denne differansen konvergerer svært langsomt mot en nøyaktig verdi, men det finnes mange andre definisjoner av konstanten som gir en raskere beregning.

En beste numerisk tilnærming til Euler–Mascheroni konstanten, er: 𝛾 ≅ 0… følge A001620 i OEIS

Konstanten ble først undersøkt og beregnet med 6 desimalers nøyaktighet av Leonhard Euler i 1734. Noen år senere fant han en mer presis verdi med 15 sikre desimaler. I 1790 klarte Lorenzo Mascheroni å regne ut en verdi med hele 32 desimaler, men noen få år senere viste det seg at de 12 siste var feil. På tross av dette ble likevel hans navn knyttet til konstanten i årene som fulgte.

I tillegg til å opptre i mange rent matematiske sammenhenger, har det vist seg at den inngår i elementærpartikkelfysikk basert på beregninger gjort i kvantefeltteori. Her opptrer divergenser som kan fjernes ved bruk av «renormalisering». Det er fra denne prosessen at Euler-Mascheronis konstant også får en fysisk betydning.

Numerisk beregning

Definisjonen av konstanten kan også skrives som

$\gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }{\Big (}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n+1){\Big )}=\sum _{k=1}^{\infty }{\Big (}{\frac {1}{k}}-\ln {\frac {k+1}{k}}{\Big )}$

når man benytter den trinnvise kanselleringen av de to bidragene fra logaritmen i hvert ledd som inngår i summasjonen. Selv om denne omskrivningen gjør den numeriske beregningen av konstanten noe enklere, er konvergensen likevel langsom.

Euler tok opprinnelig utgangspunkt i den kjente rekken

$\ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{x^{k} \over k}=x-{x^{2} \over 2}+{x^{3} \over 3}+\cdots$

Ved her å sette inn x = 1/2, 1/3, 1/4, ... , 1/n og så legge sammen rekkene i grensen at n ble veldig stor, fant han γ uttrykt ved verdiene til raskt konvergerende serier. Disse ble senere kalt for Riemanns zetafunksjon ζ(x) med heltallige argument,

$\gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\zeta (k) \over k}={1 \over 2}\zeta (2)-{1 \over 3}\zeta (3)+{1 \over 4}\zeta (4)+\cdots$

På denne måten fant han i 1734 verdien γ = 0.577218, et resultat med 5 sikre desimaler.

Det grå arealet representer Euler-Mascheroni-konstanten γ som integralet av - ln(ln(1/x)) fra 0 til 1.

Omtrent på samme tid utviklet han Euler-Maclaurins formel for summasjon av rekker. Den benyttet han til å beregne det n-te harmoniske tallet H_n med det resultat at

$\gamma =H_{n}-\ln n-{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{12n^{2}}}-{1 \over 120n^{4}}+\cdots$

Her konvergerer uttrykket på høyre side raskt for økende verdier av n. Ved å velge n = 10 klarte Euler å finne konstanten med 15 korrekte desimaler ved å ta med ledd opp til orden 1/n⁸.

De harmoniske tallene er direkte forbundet med digammafunksjonen ψ(x) som igjen er gitt ved den deriverte av gammafunksjonen,

$H_{n}=\gamma +\psi (n+1)$

Denne sammenhengen har sitt utgangspunkt i at ψ(1) = Γ'(1) = - γ. Fra det definerende integralet for gammafunksjonen følger da at

$\gamma =-\int _{0}^{\infty }\!dt\,\ln t\,e^{-t}=-\int _{0}^{1}\!dx\ln \ln {1 \over x}$

Dette uttrykket egner seg godt til numerisk beregning av konstanten. Mange andre, lignende formler finnes og kan benyttes for det formål. Millioner av desimaler er i dag funnet med slike metoder.

Divergenser

Mange analytiske funksjoner har singulariteter hvor de divergerer. Det mest vanlige er at disse er enkle poler. Det gjelder også for gammafunksjonen Γ(z) som har slike poler for z = 0 og dermed også for alle negative heltall. Like i nærheten til en av disse er det Euler-Mascheronis konstant som bestemmer verdien av funksjonen. Det har sitt opphav i at Γ'(1) = - γ. Ved å utvikle funksjonen om punktet z = 1 i en Taylor-rekke, har man da

$\Gamma (1+x)=\Gamma (1)+x\Gamma '(1)+\cdots =1-\gamma x+\cdots$

når x blir veldig liten. Men nå er Γ(x) = (1/x) Γ(1 + x) slik at når x → 0 divergerer gammafunksjonen i dette punktet som

$\Gamma (x)={1 \over x}-\gamma +O(x)$

Ut fra dette resultatet kan man finne oppførselen av funksjonen ved de andre polene. For eksempel,

${\begin{aligned}\Gamma (-1+x)&={\Gamma (x) \over -1+x}=-{\big (}1+x+x^{2}+\cdots {\big )}{\Big (}{1 \over x}-\gamma +\cdots {\Big )}\\&=-{1 \over x}-1+\gamma +O(x)\end{aligned}}$

Slik kan man fortsette og finner den singulære oppførselen ved den n-te polen som

$\Gamma (-n+x)={(-1)^{n} \over n!}{\Big (}{1 \over x}+H_{n}-\gamma +O(x){\Big )}$

hvor H_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n  er the n-te harmoniske tallet. Kombinasjonen H_n - γ = ψ(n + 1) når man benytter definisjonen av digammafunksjonen.

Euler-Mascheronis konstant opptrer på en lignende måten ved den enkle polen som Riemanns zetafunksjon ζ(z) har i punktet z = 1. Der har den formen

$\zeta (1+x)={1 \over x}+\gamma +O(x)$

når x går mot null. Dette er den eneste singulariteten til denne funksjonen. Med bruk av gammafunkjonen vet man også at:

$\lim _{n\to 0^{-}}{\bigr (}{\frac {1}{n}}-\Gamma (-n){\bigr )}.$

Kvantefeltteori

Moderne elementærpartikkelfysikk er beskrevet ved relativistisk kvantefeltteori i et firedimensjonalt tidrom. Ved konkrete beregninger opptrer det nesten alltid divergente integral som kan gjøres fysisk meningsfulle ved en omstendelig prosess som kalles «renormalisering».

På begynnelsen av 70-tallet viste Kenneth Wilson og Gerardus 't Hooft at dette kan gjøres mer systematisk ved å benytte en ny metode som nå kalles «dimensjonell regularisering». Man tenker seg da at tidsrommet ikke har nøyaktig D = 4 dimensjoner, men i stedet 4 + ε hvor ε er et lite tall som på slutten av beregningen må bli null. Med denne antagelsen vil nå alle integral være endelige og kan føres tilbake til integral over kuleflater i D = 4 + ε dimensjoner. Integralene kan uttrykkes ved gammafunksjoner hvor divergensene er isolerte til denne funksjonens poler for negative heltall. Det endelige, fysiske innhold av integrasjonene ligger i den forøvrige oppførselen til funksjonen i nærheten av disse. Dermed vil det fysiske eller observerbare resultatet av beregningen inneholde Euler-Mascheronis konstant.

Litteratur

• J. Havil, Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton University Press, New Jersey (2003). ISBN 0-691-09983-9.
• W. Dunham, Euler: The Master of Us All, The Mathematical Association of America (1999). ISBN 0-88385-328-0.
• J.C. Lagarias, Euler's constant: Euler's work and modern developments, Bull. Am. Math. Soc. 50 (4), 527–628 (2013).
• C. Itzykson and J-B. Zuber, Quantum Field Theory, McGraw-Hill, New York (1980). ISBN 0-07-032071-3.

Eksterne lenker

• E.W. Weisstein, MathWorld, Euler-Mascheroni Constant