Euler spirali

Euler spirali, eğimi eğrinin uzunluğuyla doğrusal olarak degişen bir eğridir. Euler spiralleri yaygın olarak spiros, clothoids veya Cornu spiralleri olarak da adlandırılır. Euler spirallerinin kırınım hesaplamalarında uygulamaları vardır. Genellikle demiryolu ve karayolu mühendisliklerinde teğet eğrisi ve dairesel eğri arasındaki geometriyi bağdaştırmaya ve aktarmaya yarayan geçiş eğrisi olarak kullanılır. Teğet eğrisi ve dairesel eğri arasındaki geçiş eğrisinin eğimindeki lineer değişim prensibi Euler spiralinin geometrisini belirler:

Eğimi teğetin düzgün kesitinden başlayarak lineer olarak eğri boyunca artar.
Euler spiralinin dairesel eğriyle karşılaştığı yerde eğimi dairesel eğrinin eğimine eşit olur.

Uygulamaları

Geçiş eğrisi

Dairesel yörüngede hareket eden bir nesne merkezcil ivmeye maruz kalır. Bir araç düz bir yörüngeden dairesel bir yörüngeye yaklaşırken aniden teğet noktasında başlayan merkezcil ivmeyi hissedecektir. İlk demiryollarında trenlerin düşük hızla hareket etmesinden ve yörüngelerin geniş yarıçaplı eğrilerden oluşmasından dolayı şimdiki yanal kuvvet uygulaması bir sorun oluşturmamaktaydı. Demiryolu taşıtlarının hızı günden güne arttıkça konforun gerekli olduğu ortaya çıktı. Bu yüzden de merkezcil ivme yolculuk mesafesiyle doğrusal olarak artmaktadır. Konforun sağlanması için eğimi alınan mesafeyle doğrusal olarak artan bir eğri çözüm olarak bulundu. Bu geometrik ifade Euler spiralidir. Leonhard Euler'in geometri çözümünden habersiz olarak Rankine Euler spiralinin dairesel bir eğriye yakınsayan bir parabol üzerindeki küçük açısal değişiklikler üzerinden yapılan bir yaklaşımı olan kübik eğriden (3. dereceden polinom) bahsetmiştir. Marie Alfred Cornu ve daha sonra başka inşaat mühendisleri de Euler spiralinin hesaplamalarını birbirlerinden bağımsız olarak çözmüşlerdir. Günümüzde Euler spiralleri yaygın olarak demiryolu ve karayolu mühendisliklerinde teğet eğrisi ve yatay dairesel eğri arasında geçişi ve konforu sağlamak için kullanılır.

Optik

Cornu spirali kırınım desenini betimlemek için kullanılır.^[1]

Formülasyon

Semboller

$R\,$	Eğim yarıçapı
$R_{c}\,$	Spiralin sonundaki dairesel eğimin yarıçapı
$\theta \,$	Başlangıç noktasından spiral üzerindeki herhangi bir noktaya kadar uzanan eğrinin açısı.
$\theta _{s}\,$	Bütün spiralin açısı
$L,s\,$	Başlangıç noktasından başlanarak spiral boyunca katledilen uzunluk
$L_{s},s_{o}\,$	Spiral eğrisinin uzunluğu

Çıkarımlar

Sağ taraftaki grafik Euler spiralinin negatif x ekseni boyunca uzanmış düz bir çizgiyle bir çember arasındaki geçiş eğrisi olarak kullanıldıgını göstermektedir. Spiral pozitif x ekseni üzerindeki orijinden başlayarak gitgide saat yönünün tersinde dönerek çembere değer. Spiral ilk kadrandaki çift sonlu Euler spiralinin yukarısındaki küçük bir kısımdır.

Eğim tanımından yola çıkılarak,

{\frac {1}{R}}={\frac {d\theta }{dL}}\propto L

RL={\text{constant}}=R_{c}L_{s}\,

{\frac {d\theta }{dL}}={\frac {L}{R_{c}L_{s}}}

Aşağıdaki şekilde yazarsak,

{\frac {d\theta }{dL}}=2a^{2}L

2a^{2}={\frac {1}{R_{c}L_{s}}}

ya da ::

a={\frac {1}{\sqrt {2R_{c}L_{s}}}}

Böylece

\theta =(aL)^{2}\,

olur.

{\begin{aligned}x&=\int _{0}^{L}\cos \theta \,ds\\&=\int _{0}^{L}\cos \left[(as)^{2}\right]ds\end{aligned}}

Eğer

L'=aL\,

olduğunu kabul edersek,

dL={\frac {dL'}{a}}\,

.

Böylece ::

x={\frac {1}{a}}\int _{0}^{L'}\cos {s}^{2}ds

elde ederiz.

{\begin{aligned}y&=\int _{0}^{L}\sin \theta \,ds\\&=\int _{0}^{L}\sin \left[(as)^{2}\right]ds\\&={\frac {1}{a}}\int _{0}^{L'}\sin {s}^{2}\,ds\end{aligned}}

Fresnel integral açılımı

A'nın olduğu yani Euler eğrisinin normalize edilebilir olduğu durumlarda kartezyen koordinatlar Fresnel integrali (ya da Euler integrali) ile aşağıdaki gibi belirlenir:

C(L)=\int _{0}^{L}\cos s^{2}\,ds

S(L)=\int _{0}^{L}\sin s^{2}\,ds

Kosinüs açılımına göre C(L)'yi :

\cos \theta =1-{\frac {\theta ^{2}}{2!}}+{\frac {\theta ^{4}}{4!}}-{\frac {\theta ^{6}}{6!}}+\cdots

C(L)=\int _{0}^{L}\cos s^{2}\,ds

=\int _{0}^{L}(1-{\frac {s^{4}}{2!}}+{\frac {s^{8}}{4!}}-{\frac {s^{12}}{6!}}+\cdots )\,ds

=L-{\frac {L^{5}}{5\times 2!}}+{\frac {L^{9}}{9\times 4!}}-{\frac {L^{13}}{13\times 6!}}+\cdots

Sinüs açılımına göreyse S(L)'yi:

\sin \theta =\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+\cdots

S(L)=\int _{0}^{L}\sin s^{2}\,ds

=\int _{0}^{L}(s^{2}-{\frac {s^{6}}{3!}}+{\frac {s^{10}}{5!}}-{\frac {s^{14}}{7!}}+\cdots )\,ds

={\frac {L^{3}}{3}}-{\frac {L^{7}}{7\times 3!}}+{\frac {L^{11}}{11\times 5!}}-{\frac {L^{15}}{15\times 7!}}+\cdots

bu şekillerde elde ederiz.

Normalize etme ve sonuç

Verilen Euler eğrisi için:

2RL=2R_{c}L_{s}={\frac {1}{a^{2}}}\,

ya da

{\frac {1}{R}}={\frac {L}{R_{c}L_{s}}}=2a^{2}L\,

geçerliyse,

x={\frac {1}{a}}\int _{0}^{L'}\cos s^{2}\,ds

y={\frac {1}{a}}\int _{0}^{L'}\sin s^{2}\,ds\,

where $L'=aL\,$ and $a={\frac {1}{\sqrt {2R_{c}L_{s}}}}$ .

Euler spiralinin (x,y) cinsinden çözümünün elde edilme süreci şu şekilde belirlenebilir:

Orijinal Euler spiralinin uzunluğu L a ile çarpılarak normalize edilmiş Euler spiralinin uzunluğu Le eşlenir;
Fresnel integralinden (x',y') bulunur; ve
(x',y') 1/a oranında arttırılarak (x,y)'ye eşlenir. (1/a > 1)

Normalizasyon süresince,

{\begin{aligned}R'_{c}&={\frac {R_{c}}{\sqrt {2R_{c}L_{s}}}}\\&={\sqrt {\frac {R_{c}}{2L_{s}}}}\\\end{aligned}}

{\begin{aligned}L'_{s}&={\frac {L_{s}}{\sqrt {2R_{c}L_{s}}}}\\&={\sqrt {\frac {L_{s}}{2R_{c}}}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}2R'_{c}L'_{s}&=2{\sqrt {\frac {R_{c}}{2L_{s}}}}{\sqrt {\frac {L_{s}}{2R_{c}}}}\\&={\tfrac {2}{2}}\\&=1\end{aligned}}

Normalizasyon genel olarak Lı 1'den küçük bir değere götürür.

Örnekleme

Verilen:

{\begin{aligned}R_{c}&=300{\mbox{m}}\\L_{s}&=100{\mbox{m}}\end{aligned}}

değerleri için,

{\begin{aligned}\theta _{s}&={\frac {L_{s}}{2R_{c}}}\\&={\frac {100}{2\times 300}}\\&=0.1667\ {\mbox{radian}}\\\end{aligned}}

olur.

2R_{c}L_{s}=60,000\,

Euler spiralini √60,000 küçültürsek, yani normalize Euler spiralinin 100√6 olması durumunda:

{\begin{aligned}R'_{c}={\tfrac {3}{\sqrt {6}}}{\mbox{m}}\\L'_{s}={\tfrac {1}{\sqrt {6}}}{\mbox{m}}\\\\\end{aligned}}

{\begin{aligned}2R'_{c}L'_{s}&=2\times {\tfrac {3}{\sqrt {6}}}\times {\tfrac {1}{\sqrt {6}}}\\&=1\end{aligned}}

ve

{\begin{aligned}\theta _{s}&={\frac {L'_{s}}{2R'_{c}}}\\&={\frac {\tfrac {1}{\sqrt {6}}}{2\times {\tfrac {3}{\sqrt {6}}}}}\\&=0.1667\ {\mbox{radian}}\\\end{aligned}}

Yukarıda iki açı $\theta _{s}\,$ da aynı. Bu orijinal ve normalize edilmiş Euler spirallerinin benzer geometrilere sahip oldugunu göstermektedir. Normalize eğrinin konumu Fresnel integraliyle belirlenebilirken, orijinal Euler spiralinin konumu ise denormalizasyonla elde edilir.

Normalize Euler spiralinin diğer özellikleri

Normalize Euler spirali şu şekilde ifade edilir:

x=\int _{0}^{L}\cos s^{2}ds

y=\int _{0}^{L}\sin s^{2}ds

ve normalize Euler spiralinin bazı özellikleri şunlardır:

2R_{c}L_{s}=1\,\!

\theta _{s}={\frac {L_{s}}{2R_{c}}}=L_{s}^{2}

ve

\theta =\theta _{s}\cdot {\frac {L^{2}}{L_{s}^{2}}}=L^{2}

{\frac {1}{R}}={\frac {d\theta }{dL}}=2L.

Euler spiral üretmek için gereken kodlar

Aşağıdaki Sage koduyla yukarıdaki ikinci grafik elde edilebilir. İlk 4 satır Euler spirali bileşenlerini ifade eder. fresnel fonksiyonlarının yerine iki Taylor seri açılımı adapte edilmiştir. Geriye kalan kodlarsa sırayla teğet ve daireyi ifade eder.

  var('L')
  p = integral(taylor(cos(L^2), L, 0, 12), L)
  q = integral(taylor(sin(L^2), L, 0, 12), L)
  r1 = parametric_plot([p, q], (L, 0, 1), color = 'red')
  
  r2 = line([(-1.0, 0), (0,0)], rgbcolor = 'blue')
  
  x1 = p.subs(L = 1)
  y1 = q.subs(L = 1)
  R = 0.5
  x2 = x1 - R*sin(1.0)
  y2 = y1 + R*cos(1.0)
  r3 = circle((x2, y2), R, rgbcolor = 'green')
  show(r1 + r2 + r3, aspect_ratio = 1, axes=false)

Aşağıdaki Mathematica kodu da Euler spiralinin bileşenleri içindir; wolframalpha.com'da sorunsuz bir şekilde çalışır.

  ParametricPlot[
   {FresnelC[Sqrt[2/\[Pi]] t]/Sqrt[2/\[Pi]],
    FresnelS[Sqrt[2/\[Pi]] t]/Sqrt[2/\[Pi]]},
   {t, -10, 10}]

Kaynakça

^ Eugene Hecht (1998). Optics (3rd edition). Addison-Wesley. s. 491. ISBN 0201304252.

Konuyla ilgili okumalar

Kellogg, Norman Benjamin (1907). The Transition Curve or Curve of Adjustment. 3rd. New York: McGraw.
R. Nave, The Cornu spiral, Hyperphysics (2002) (Uses πt²/2 instead of t².)
Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 7)
"Roller Coaster Loop Shapes". 10 Ekim 2006 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 12 Kasım 2010.

Dış bağlantılar

[Hecht-1] Eugene Hecht (1998). Optics (3rd edition). Addison-Wesley. s. 491. ISBN 0201304252.

[1]

g t d Spiraller, eğriler ve helezon
Eğriler	Cebirsel eğri Eğrilik Eğriler Galerisi Eğrilerin listesi Eğri ile ilgili konular listesi
Helezonlar	Helezon açısı Helezonal anten Boerdijk–Coxeter helezonu Yarıhelezon Helezonal simetri Üçlü helezon
Spiraller (Sarmallar)	Arşimet sarmalı Cotes spirali Epispiral Hiperbolik spiral Poinsot spiralleri Doyle spirali Euler spirali Fermat spirali Altın sarmal İkili sarmal İçeri kıvrık (İnvolut) Spiraller listesi Logaritmik spiral Spiraller Üzerine (Arşimet) Theodorus sarmalı

g t d Leonhard Euler
Çalışmalar	Mechanica Introductio in analysin infinitorum Institutiones calculi differentialis Institutiones calculi integralis Letters to a German Princess
Kavramlar ve teoriler	Euler-Lagrange denklemi Euler-Lotka denklemi Euler-Maclaurin formülü Euler-Maruyama yöntemi Euler-Mascheroni sabiti Euler-Poisson-Darboux denklemi Euler-Rodrigues formülü Euler-Tricomi denklemi Euler sürekli kesirler formülü Euler kritik yükü Euler formülü Euler dört-kare özdeşliği Euler özdeşliği Euler pompa ve tribün denklemi Euler dönme teoremi Euler kuvvetler toplamı varsayımı Euler teoremi Euler denklemleri (akışkanlar dinamiği) Euler fonksiyonu Euler yöntemi Euler sayıları Euler sayısı (fizik) Euler-Bernoulli kiriş teorisi Euler teoremi (geometri) Euler spirali Euler-Fuss denklemi Euler dörtgen teoremi
Diğer	Aynı adı taşıyan Euler Committee Johann Euler Johann Bernoulli (Bernoulli ailesi) Georg Gsell Merian ailesi Basel Okulu (matematik)