Faktoralgebra

Koncept faktoralgebry je vyrobit z nosné množiny původní algebry hrubší objekt se stejnou strukturou. Formálně faktoralgebru tvoří vhodná ekvivalence $\sim \,\!$ na nosné množině algebry $A\,\!$, nosná množina faktoralgebry se pak bude skládat z bloků ekvivalence $A/\sim \,\!$.

Faktoralgebry odpovídají homomorfním obrazům algeber a jsou zobecněním faktorgrupy a faktorokruhu.

Definice

Nechť je $A=(A,F)\,\!$ algebra. Ekvivalence $\sim \,\!$ na $A\,\!$ se nazývá kongruence algebry pokud:

• Pro každou operaci $F_{A}\,\!$ a $a_{1}\sim b_{1},...,a_{ar(F_{A})}\sim b_{ar(F_{A})}\,\!$ platí $F_{A}(a_{1},...,a_{ar(F_{A})})\sim F_{A}(b_{1},...,b_{ar(F_{A})})\,\!$

Operace faktoralgebry $B=(A/\sim ,G)\,\!$ pak definujeme na blocích ekvivalence takto:

• Pro každé $F_{A}\,\!$ a $a_{1},...,a_{ar(F_{A})}\in A\,\!$ je $G_{A}([a_{1}],...,[a_{ar(F_{A})}])\sim [F_{A}(a_{1},...,a_{ar(F_{A})})]\,\!$

Jinak řečeno, prvky bloku ekvivalence jsou z hlediska operací zaměnitelné. Proto si také můžeme z každého bloku zvolit reprezentanta, tím dostaneme množinu reprezentantů, která je izomorfní nosné množině faktoralgebry.

Vlastnosti

• Faktoralgebra má stejnou signaturu jako původní algebra.
• Kongruence algebry je ekvivalence respektující strukturu algebry.
• Každá algebra ma alespoň dvě nevlastní faktoralgebry definovány kongruencemi:
  • $id=\{(a,a):a\in A\}\,\!$
  • $A\times A=\{(a,b):a\in A\land b\in A\}\,\!$

Tedy ekvivalencí rovnosti a ekvivalencí všech prvků algebry.

Příklady

Uvažujme relaci $x\sim y\Leftrightarrow x+y\mid 2\,\!$ v grupě celých čísel $(\mathbb {Z} ,+,-,0)\,\!$. Ta má zřejmě dva bloky ekvivalence a to sudá a lichá čísla. Nyní je třeba ověřit, že její operace splňují definici faktorgupy. Tedy že:

• pro operaci sčítání $(+)\,\!$: $\forall a_{1}\sim b_{1},a_{2}\sim b_{2}\,\!$ platí $a_{1}+a_{2}\sim b_{1}+b_{2}\,\!$
• pro operaci inverze $(-)\,\!$: $\forall a\sim b\,\!$ platí $-a\sim -b\,\!$
• konstantni prvek (operace arity 0) se zobrazí na konstantní prvek $0\sim 0\,\!$ (je splněno vždy).

Což jde jednoduše ověřit. Například pro operaci sčítání máme čtyři možnosti $a_{1}\sim b_{1}\,\!$ je buď sudé, nebo liché a stejně tak $a_{2}\sim b_{2}\,\!$.

Nosnou množinu faktorgrupy reprezentovat například jako $\{0,1\}\,\!$, neboť $0\,\!$ je reprezentantem sudých čísel a $1\,\!$ je reprezentantem čísel lichých.

Mějme grupu permutací na $n\,\!$ prvcích $S_{n}\,\!$ a relaci ekvivalence $\pi \sim \sigma \Leftrightarrow sgn(\pi )=sgn(\sigma )\,\!$. Tedy dvě permutace jsou ekvivalentní, pokud mají stejné znaménko. Pak faktoralgebra bude izomorfní s faktoralgebrou v předchozím případě. (Stačí si uvědomit, že inverzní permutace má stejné znaménko, složení permutací má znaménko $sgn(\pi )*sng(\sigma )\,\!$ a nulovým prvkem, je identita.)

Věta o izomorfismu

Je-li $\varphi :A\rightarrow B\,\!$ homomorfismus algeber, pak platí $A/ker(\varphi )\simeq Im(\varphi )\,\!$.

Tedy algebra určená rozkladem nosné množiny algebry $A\,\!$ podle jádra homomorfismu $ker(\varphi )\,\!$ je isomorfní s obrazem homomorfismu $Im(\varphi )\,\!$.

Myšlenka důkazu:

• Je li $\varphi \,\!$ homomorfismus $A\rightarrow B\,\!$ pak jádro zobrazení $ker(\varphi )$ je kongruence algebry $A\,\!$.
• Je li $\varphi \,\!$ homomorfismus $A\rightarrow B\,\!$ a $\sim \,\!$ kongruence na $A\,\!$ taková, že $a\sim b\Rightarrow \varphi (a)=\varphi (b)\,\!$, pak je zobrazení $\psi :A/\sim \rightarrow B,[a]\rightarrow \varphi (a)\,\!$ je homomorfismus.
• Pak $A/\ker(\varphi )\rightarrow Im(\psi )=Im(\varphi )\,\!$ je prostý a na a je tedy izomorfismem.

Každá kongruence na algebře $\sim \,\!$ je tedy jádrem vhodného homomorfismu, ten můžeme sestrojit jako zobrazení z $\varphi :a\rightarrow [a]_{\sim }\,\!$, tedy $A\rightarrow A/\sim \simeq B\,\!$.

Naopak každé jádro homomorfismu $ker(\varphi )\,\!$ je kongruence $a\sim b\Leftrightarrow \varphi (a)=\varphi (b)\,\!$.

Dále pak každá faktoralgebra odpovídá obrazu homomorfismu, tedy $A/\sim \simeq Im(\varphi )\,\!$ pro $\varphi :A\rightarrow B\simeq A/\sim \,\!$.

A naopak projekce $\psi :A\rightarrow A/\sim \,\!$ je homomorfismem pro kongruenci na algebře $\sim \,\!$.

Příklad

V předchozím případě bychom mohli zvolit homomorfismus zobrazující sudá čísla na prvek $0$ a lichá čísla na prvek $1$, příslušné operace by byly zadefinovány takto:

• Operace $(+)\,\!$

+	0	1
0	0	1
1	1	0

• Operace $(-)\,\!$

-0 = 0, -1 = 1

• Operace $0\,\!$

Konstanta 0 se zobrazí na 0.

Pak jádro homomorfismu bude relace ekvivalence rozdělená na blok sudých a blok lichých čísel a faktoralgebra podle jádra zobrazení bude izomorfní s algebrou určenou obrazem homomorfismu.

Literatura

• STANOVSKÝ, David. Praha: matfyzpress, 2010. 153 s. ISBN 978-80-7378-105-7. 

Související články

• Kongruence
• Faktorgrupa
• Faktorokruh
• Varieta algeber

Portály: Matematika